Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Área de un triángulo 02

    Posted on abril 24th, 2014 Miralles No comments

     

    Consideremos los puntos P(–1, 1, 1), Q(7, 1, 7) y R(–4, 1, 5) se pide:

    a)  Demuestra que son los vértices de un triángulo rectángulo y calcula la longitud de cada cateto y el área del triángulo.

    b)  Obtén la ecuación del plano que los contiene.

    c)  Obtén un punto T de manera que los puntos P, Q, R y T sean los vértices de un rectángulo.

     

     

    Solución:

    Datos: P(–1, 1, 1); Q(7, 1, 7); R(–4, 1, 5)

    a)  Si el triángulo formado por los puntos P, Q, y R es rectángulo debe tener dos lados que sean perpendiculares.

    Supongamos que los lados que son perpendiculares son los formados por los segmentos PQ Y PR.

     

    Por tanto:

    PQ·PR = 0

    Coordenadas de los vectores PQ y PR:

    PQ = [7 – (–1), 1 – 1, 7 – 1] = (8, 0, 6)

    PR = [–4 – (–1), 1 – 1, 5 – 1] = (–3, 0, 4)

    Producto escalar:

    PQ·PR = (8, 0, 6)· (–3, 0, 4) = –24 + 0 + 24 = 0

    Luego se trata de un triángulo rectángulo. Si estos dos lados no hubieran sido perpendiculares se probaría con otros dos.

    Los catetos son los lados que forman el ángulo recto, por tanto:

     

    Área del triángulo:

    Ar = (1/2) a·c = (1/2)·5·10 = 25 u2

    b)  Para hallar la ecuación del plano que contiene a P, Q y R, necesitamos un punto (ya tenemos tres) y dos vectores directores (también los tenemos), con lo que podemos escribir la ecuación paramétrica del plano buscado.

     

    (El punto tomado ha sido el P, pero se podía haber cogido cualquiera de los otros dos)

    Si queremos tener el plano hallado en forma general hemos de eliminar los parámetros.

     

    (y – 1) (–18 – 32) = 0 → –50y + 50 = 0 ® y – 1 = 0

    c)  Coordenadas de T: (x, y, z)

    Para que el cuadrilátero formado por los puntos P, Q, R y T sea un rectángulo ha de tener, dos a dos, los lados iguales y paralelos.

     

     

    Por tanto:

    PR = QT

    Coordenadas de los vectores PR y QT:

    PR = (–3, 0, 4)

    QT = (x – 7, y – 1, z – 7)

    (–3, 0, 4) = (x – 7, y – 1, z – 7)

    –3 = x – 7 ® x = 4

    0 = y – 1 ® y =1

    4 = z – 7 ® z = 11

    Coordenadas de T: (4, 1, 11)

     

     

     

     

     

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