Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Distancia entre dos planos 02

    Posted on abril 17th, 2014 Miralles No comments

     

    Entre todos los planos que pasan por la recta:

     

    a)  Halla la ecuación del plano p que es paralelo al plano α: 3x + 4z – 4 = 0

    b)  Halla la distancia entre los planos p y a.

     

     

    Solución:

    a)  Vamos a expresar la recta r en forma paramétrica.

     

    Si: z = 3l, lÎÂ ® y = 2 – 7l

    x = 5 – 2y – 6z  x = 5 – 2 (2 – 7l) – 6 (3l) = 5 – 4 + 14l – 18l = 1 – 4l

    Por tanto:

     

    El plano buscado es paralelo a a, luego:

    π: 3x + 4z + D = 0

    y por contener a la recta r, tenemos:

    3 (1 – 4l) + 4 (0 + 3l) + D = 0

    3 – 12l + 12l + D = 0 ® D = –3

    luego:

    π: 3x + 4z – 3 = 0

    b)   

     

    La distancia entre los planos a y p es la misma que existe entre los puntos P y Q. Luego hemos de encontrar las coordenadas de estos puntos.

    Como la recta r está contenida en el plano p, el punto Q puede ser el (1, 2, 0).

    Ahora hallaremos la ecuación de la recta s que pasa por Q y es perpendicular a ambos planos y que, por tanto, tendrá como vector director el vector normal o asociado al plano p,  n = (3, 0, 4).

    Ecuación paramétrica de s:

     

    La intersección de la recta s y el plano a es el punto P.

    3 (1 + 3µ) + 4 (0 + 4µ) – 4 = 0

    3 + 9µ + 16µ – 4 = 0

    25µ = 1 ® µ = 1/25

    Coordenadas de P:

    x = 1 + 3 (1/25) = 1 + (3/25) = 28/25

    y = 2

    z = 4 (1/25) = 4/25

    La distancia entre los dos planos es igual al módulo del vector PQ.

    Coordenadas del vector PQ:

    PQ = [1 – (28/25), 2 – 2, 0 – (4/25)] = [(–3/25), 0, (–4/25)]

     

     

     

     

     

     

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