Distancia entre dos planos 02

Entre todos los planos que pasan por la recta:

a)  Halla la ecuación del plano p que es paralelo al plano α: 3x + 4z – 4 = 0

b)  Halla la distancia entre los planos p y a.

Solución:

a)  Vamos a expresar la recta r en forma paramétrica.

Si: z = 3l, lÎÂ ® y = 2 – 7l

x = 5 – 2y – 6z → x = 5 – 2 (2 – 7l) – 6 (3l) = 5 – 4 + 14l – 18l = 1 – 4l

Por tanto:

El plano buscado es paralelo a a, luego:

π: 3x + 4z + D = 0

y por contener a la recta r, tenemos:

3 (1 – 4l) + 4 (0 + 3l) + D = 0

3 – 12l + 12l + D = 0 ® D = –3

luego:

π: 3x + 4z – 3 = 0

b)   

La distancia entre los planos a y p es la misma que existe entre los puntos P y Q. Luego hemos de encontrar las coordenadas de estos puntos.

Como la recta r está contenida en el plano p, el punto Q puede ser el (1, 2, 0).

Ahora hallaremos la ecuación de la recta s que pasa por Q y es perpendicular a ambos planos y que, por tanto, tendrá como vector director el vector normal o asociado al plano p,  n = (3, 0, 4).

Ecuación paramétrica de s:

La intersección de la recta s y el plano a es el punto P.

3 (1 + 3µ) + 4 (0 + 4µ) – 4 = 0

3 + 9µ + 16µ – 4 = 0

25µ = 1 ® µ = 1/25

Coordenadas de P:

x = 1 + 3 (1/25) = 1 + (3/25) = 28/25

y = 2

z = 4 (1/25) = 4/25

La distancia entre los dos planos es igual al módulo del vector PQ.

Coordenadas del vector PQ:

PQ = [1 – (28/25), 2 – 2, 0 – (4/25)] = [(–3/25), 0, (–4/25)]