Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Distancia entre dos rectas 04

    Posted on marzo 31st, 2014 Miralles No comments

     

    Determina la posición relativa de las rectas:

     

    y la distancia entre ambas.

     

     

    Solución:

    a)  Pasemos a paramétricas la recta r:

     

    Sustituyamos las incógnitas de una recta en la otra y resolvamos el sistema formado.

     

    11·(–5/3) + l = 6

    (–55/3) + l = 6

    l = 6 + (55/3) =73/3

    Veamos si los resultados obtenidos verifican la tercera ecuación:

    (–5/3) + 5 (73/3) = (–5/3) + (365/3) = 360/3 = 120 ¹ 4

    El sistema es incompatible luego no tiene solución, por tanto las rectas son paralelas o se cruzan.

    Comprobemos la relación que existe entre los vectores directores.

    11/(–1) ¹ 14/(–1) ¹ 1/(–5)

    Como las coordenadas de los vectores directores no son proporcionales, las rectas no son paralelas, por tanto se cruzan.

    b)  Tenemos que hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan y lo realizaremos por dos procedimientos diferentes.

    Primer procedimiento:

     

    La distancia buscada es la que hay entre un punto perteneciente a la recta s y un plano p paralelo a dicha recta y que contenga a la recta r

    De la ecuación de r tenemos un punto genérico (x, y, z), el punto (–5, –4, 0) y el vector director (11, 14, 1), que también pertenecen al plano p por contener a dicha recta.

    Por tanto los vectores (x + 5, y + 4, z) y (11, 14, 1) pertenecen a p y, además, por ser paralelo a s, el vector (–1, –1, –5). 

    Como los tres vectores anteriores son coplanarios o sea, linealmente dependientes, se cumple que:

     

    –69x – 345 + 54y + 216 + 3z = 0

    p º –69x + 54y + 3z – 129 = 0

    p º 23x – 18y – z + 43 = 0

    (x + 5) (–70 + 1) – (y + 4) (–55 + 1) + z (–11 + 14) = 0

    –69x – 345 + 54y + 216 + 3z = 0

    –69x + 54y + 3z – 129 = 0

    p º 23x – 18y – z + 43 = 0

    Para hallar el plano p también se puede hacer de la siguiente forma:

    Se pasa a forma general una de las rectas, por ejemplo, r:

     

     

    Haz de planos que pasan por r:

    14x – 11y + 26 + b (x – 11z + 5) = 0

    14x – 11y + 26 + bx – 11bz + 5b = 0

    (14 + b) x – 11y – 11bz + (26 + 5b) = 0

    De este haz se toma el plano paralelo a la recta s, luego se debe cumplir que:

    us·ur = 0

    siendo us el vector director de la recta s y ur el vector normal del plano paralelo a dicha recta.

    (–1, –1, –5)·[(14 + b), –11, –11b] = 0

    –14 – b + 11 + 55b = 0

    54b = 3 b = 3/54 = 1/18

    14x – 11y + 26 + (1/18) (x – 11z + 5) = 0

    252x – 198y + 468 + x – 11z + 5 = 0

    253x – 198y – 11z + 473 = 0

    p º 23x – 18y – z + 43 = 0

    Una vez se ha hallado la ecuación del plano p, se aplica la fórmula:

     

    Siendo P(1, –3, 4) un punto perteneciente a la recta s.

     

     

    Segundo procedimiento:

     

    La distancia que existe entre las rectas r y s es igual a la altura, h, del paralelepípedo:

    Volumen = Área de la base por la altura

    V = AB·h h = V/AB

    Volumen del paralelepípedo se puede hallar aplicando el triple producto mixto:

    V = AB·(u´v)

    El área de la base es igual al producto escalar de los vectores u y v:

    AB = u·v

    Por lo tanto:

     

    Se toman valores absolutos por tratarse de distancias.

    Vectores AB, u y v:

    AB = (1 + 5, –3 + 4, 4 – 0) = (6, 1, 4)

    u = (11, 14, 1)

    v = (–1, –1, –5)

     

    = 6 (–70 + 1) – 1 (–55 + 1) + 4 (–11 + 14) = –414 + 54 + 12 = –348

     

     

     

     

     

     

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