Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Distancia entre dos rectas 01

    Posted on marzo 20th, 2014 admin No comments

     

    Halla la mínima distancia entre las rectas:

     

    por dos procedimientos distintos.

     

     

    Solución:

    Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas, para lo cual escribiremos sus ecuaciones paramétricas:

     

    Sustituyamos las incógnitas de una recta en la otra y resolvamos el sistema formado.

     

    Veamos si los resultados obtenidos verifican la tercera ecuación:

     

    Por tanto el sistema es incompatible por consiguiente no tiene solución, luego las rectas son paralelas o se cruzan.

    Comprobemos la relación que existe entre los vectores directores.

    2/1 ¹ 3/3 ¹ 1/2

    Como las coordenadas de los vectores directores no son proporcionales, las rectas no son paralelas, por tanto se cruzan.

    Primer procedimiento.

     

    La distancia buscada es la que hay entre un punto perteneciente a la recta s y un plano p paralelo a dicha recta y que contenga a la recta r

    De la ecuación de r tenemos un punto genérico (x, y, z), el punto (1, 1, 1) y el vector director (2, 3, 1), que también pertenecen al plano p por contener a dicha recta.

    Por tanto los vectores (x – 1, y – 1, z – 1), (2, 3, 1) pertenecen a p y además, por ser paralelo a s, el vector (1, 3, 2).      

    Como los tres vectores anteriores son coplanarios o sea, linealmente dependientes, se cumple que:

     

    (x – 1) (6 – 3) – (y – 1) (4 – 1) + (z – 1) (6 – 3) = 0

    3x – 3 – 3y + 3 + 3z – 3 = 0

    p º 3x – 3y + 3z – 3 = 0

    Simplificando:

    p º x – y + z – 1 = 0

    Aplicando la fórmula:

     

    siendo P(5, 2, 1) un punto perteneciente a la recta s tenemos:

     

    Segundo procedimiento:

     

    La distancia que existe entre las rectas r y s es igual a la altura, h, del paralelepípedo:

    Volumen = Área de la base por la altura

    V = AB·h h = V/AB

    Volumen del paralelepípedo se puede hallar aplicando el triple producto mixto:

    V = AB·(u´v)

    El área de la base es igual al producto escalar de los vectores u y v:

    AB = u·v

    Por lo tanto:

     

    Se toman valores absolutos por tratarse de distancias.

    Vectores AB, u y v:

    AB = (5 – 1, 2 – 1, 1 – 1) = (4, 1, 0)

    u = (1, 3, 2)

    v = (2, 3, 1)

     

    = 4 (3 – 6) – 1 (1 – 4) + 0 = –12 + 3 = –9 

     

     

     

     

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