Distancia entre un punto y un plano 02

Halla la distancia del punto A(–2, 2, 3) al plano de ecuación: p º 8x – 4y – z – 8 = 0, por dos procedimientos distintos.

Solución:

Primer procedimiento:

La distancia buscada es la que hay entre el punto A y el punto M (intersección del plano  y la recta perpendicular a él y que pasa por A) 

Sea r la recta que pasa por A y es perpendicular al plano p.

Como la recta r es perpendicular al plano p, tendrá como vector director el vector normal o asociado del plano, n = (8, –4, –1).      

Ecuaciones paramétricas de la recta r:

Para hallar el punto de intersección M, se sustituye en p las coordenadas de cualquier punto de la recta r:

8·(–2 + 8l) – 4·(2 – 4l) – (3 – l) – 8 = 0

 –16 + 64l – 8 + 16l – 3 + l – 8 = 0

81l – 35 = 0 → l = 35/81

x = –2 + 8 (35/81) = –2 + (280/81) = 118/81

y = 2 – 4 (35/81) = 2 – (140/81) = 22/81

z = 3 – (35/81) = 208/81

Coordenadas del punto M:

M(118/81, 22/81, 208/81)

Distancia del punto A al plano p:

Segundo procedimiento:

Según la figura:

cos a = AC/OA = d/OA

Aplicando el producto escalar de los vectores OA y n:

OA·n = OA·n·cos a

OA·n = OA·n·(d/OA) = n d

Si las coordenadas del punto O son: (x₀, y₀, z₀), tenemos que:

OA = (–2 – x₀, 2 – y₀, 3 – z₀)

 OA·n = (–2 – x₀, 2 – y₀, 3 – z₀)·(8, –4, –1)

   OA·n = –16 – 8x₀ – 8 + 4y₀ – 3 + z₀

OA·n = –8x₀ + 4y₀ + z₀ – 27

Como el punto O pertenece al plano p, se verifica que:

8x₀ – 4y₀ – z₀ – 8 = 0

–8x₀ + 4y₀ + z₀ + 8 = 0

–8x₀ + 4y₀ + z₀ = –8

Sustituyendo en el producto escalar OA·n:

OA·n = –8 – 27 = –35