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Distancia entre un punto y un plano 02
Posted on marzo 6th, 2014 No commentsHalla la distancia del punto A(–2, 2, 3) al plano de ecuación: p º 8x – 4y – z – 8 = 0, por dos procedimientos distintos.
Solución:
Primer procedimiento:
La distancia buscada es la que hay entre el punto A y el punto M (intersección del plano y la recta perpendicular a él y que pasa por A)
Sea r la recta que pasa por A y es perpendicular al plano p.
Como la recta r es perpendicular al plano p, tendrá como vector director el vector normal o asociado del plano, n = (8, –4, –1).
Ecuaciones paramétricas de la recta r:
Para hallar el punto de intersección M, se sustituye en p las coordenadas de cualquier punto de la recta r:
8·(–2 + 8l) – 4·(2 – 4l) – (3 – l) – 8 = 0
–16 + 64l – 8 + 16l – 3 + l – 8 = 0
81l – 35 = 0 → l = 35/81
x = –2 + 8 (35/81) = –2 + (280/81) = 118/81
y = 2 – 4 (35/81) = 2 – (140/81) = 22/81
z = 3 – (35/81) = 208/81
Coordenadas del punto M:
M(118/81, 22/81, 208/81)
Distancia del punto A al plano p:
Segundo procedimiento:
Según la figura:
cos a = AC/OA = d/OA
Aplicando el producto escalar de los vectores OA y n:
OA·n = OA·n·cos a
OA·n = OA·n·(d/OA) = n d
Si las coordenadas del punto O son: (x0, y0, z0), tenemos que:
OA = (–2 – x0, 2 – y0, 3 – z0)
OA·n = (–2 – x0, 2 – y0, 3 – z0)·(8, –4, –1)
OA·n = –16 – 8x0 – 8 + 4y0 – 3 + z0
OA·n = –8x0 + 4y0 + z0 – 27
Como el punto O pertenece al plano p, se verifica que:
8x0 – 4y0 – z0 – 8 = 0
–8x0 + 4y0 + z0 + 8 = 0
–8x0 + 4y0 + z0 = –8
Sustituyendo en el producto escalar OA·n:
OA·n = –8 – 27 = –35
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