Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Distancia entre un punto y un plano 02

    Posted on marzo 6th, 2014 Miralles No comments

     

    Halla la distancia del punto A(–2, 2, 3) al plano de ecuación: p º 8x – 4y – z – 8 = 0, por dos procedimientos distintos.

     

     

    Solución:

    Primer procedimiento:

     

     

     

    La distancia buscada es la que hay entre el punto A y el punto M (intersección del plano  y la recta perpendicular a él y que pasa por A) 

    Sea r la recta que pasa por A y es perpendicular al plano p.

    Como la recta r es perpendicular al plano p, tendrá como vector director el vector normal o asociado del plano, n = (8, –4, –1).      

    Ecuaciones paramétricas de la recta r:

     

     

     

    Para hallar el punto de intersección M, se sustituye en p las coordenadas de cualquier punto de la recta r:

     

    8·(–2 + 8l) – 4·(2 – 4l) – (3 – l) – 8 = 0

     

     –16 + 64l – 8 + 16l – 3 + l – 8 = 0

     

    81l – 35 = 0 l = 35/81

     

    x = –2 + 8 (35/81) = –2 + (280/81) = 118/81

     

    y = 2 – 4 (35/81) = 2 – (140/81) = 22/81

     

    z = 3 – (35/81) = 208/81

     

    Coordenadas del punto M:

     

    M(118/81, 22/81, 208/81)

     

    Distancia del punto A al plano p:

     

     

     

    Segundo procedimiento:

     

     

     

    Según la figura:

     

    cos a = AC/OA = d/OA

     

    Aplicando el producto escalar de los vectores OA y n:

     

    OA·n = OA·n·cos a

     

    OA·n = OA·n·(d/OA) = n d

     

     

     

    Si las coordenadas del punto O son: (x0, y0, z0), tenemos que:

     

    OA = (–2 – x0, 2 – y0, 3 – z0)

     

     OA·n = (–2 – x0, 2 – y0, 3 – z0)·(8, –4, –1)

     

       OA·n = –16 – 8x0 – 8 + 4y0 – 3 + z0

     

    OA·n = –8x0 + 4y0 + z0 – 27

     

     

     

    Como el punto O pertenece al plano p, se verifica que:

     

    8x0 – 4y0 – z0 – 8 = 0

     

    –8x0 + 4y0 + z0 + 8 = 0

     

    –8x0 + 4y0 + z0 = –8

     

    Sustituyendo en el producto escalar OA·n:

     

    OA·n = –8 – 27 = –35

     

     

     

     

     

     

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