Distancia entre un punto y un plano 01

Halla la distancia del punto A(1, –1, 2) al plano p º x – 2y + 2z – 3 = 0 por dos procedimientos distintos.

Solución:

Primer procedimiento:

La distancia buscada es la que hay entre el punto A y el punto M (intersección del plano  y la recta perpendicular a él que pasa por A). 

Sea r la recta que pasa por A.

Como la recta r es perpendicular al plano p, tendrá como vector director el vector normal o asociado del plano, n = (1, –2, 2).       

Ecuaciones paramétricas de la recta:

Para hallar el punto de intersección M, se sustituye en p las coordenadas de cualquier punto de la recta r:

(1 + l) – 2 (–1 – 2l) + 2 (2 + 2l) – 3 = 0

1 + l + 2 + 4l + 4 + 4l – 3 = 0

9l + 4 = 0 → 9l = –4 → l = –4/9

x = 1 – (4/9) = 5/9

y = –1 + 2 (4/9) = –1 + (8/9) = –1/9

z = 2 – 2 (4/9) = 2 – (8/9) = 10/9

Coordenadas del punto M:

M(5/9, –1/9, 10/9)

Segundo procedimiento:

Aplicando la fórmula: