Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Distancia entre un punto y un plano 01

    Posted on marzo 3rd, 2014 Miralles No comments

     

    Halla la distancia del punto A(1, –1, 2) al plano p º x – 2y + 2z – 3 = 0 por dos procedimientos distintos.

     

     

    Solución:

    Primer procedimiento:

     

    La distancia buscada es la que hay entre el punto A y el punto M (intersección del plano  y la recta perpendicular a él que pasa por A). 

    Sea r la recta que pasa por A.

    Como la recta r es perpendicular al plano p, tendrá como vector director el vector normal o asociado del plano, n = (1, –2, 2).       

    Ecuaciones paramétricas de la recta:

     

    Para hallar el punto de intersección M, se sustituye en p las coordenadas de cualquier punto de la recta r:

    (1 + l) – 2 (–1 – 2l) + 2 (2 + 2l) – 3 = 0

    1 + l + 2 + 4l + 4 + 4l – 3 = 0

    9l + 4 = 0 9l = –4 l = –4/9

    x = 1 – (4/9) = 5/9

    y = –1 + 2 (4/9) = –1 + (8/9) = –1/9

    z = 2 – 2 (4/9) = 2 – (8/9) = 10/9

    Coordenadas del punto M:

    M(5/9, –1/9, 10/9)

     

    Segundo procedimiento:

    Aplicando la fórmula:

     

     

     

     

     

     

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