Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Distancia entre un punto y una recta 03

    Posted on febrero 20th, 2014 Miralles No comments

     

    Halla la distancia del punto P(1, 2, 0) a la recta:

     

     

     

    Solución:

    Primer procedimiento.

    Vamos a buscar una recta que sea perpendicular a la recta dada y que pase por el punto P. Una vez hallada dicha recta encontraremos el punto de corte con la recta r y la distancia entre este punto y el punto P será la distancia buscada.

    Para hallar un punto cualquiera de r ponemos a ésta en forma paramétrica:

     

     

     

    –(–1 – 4z) + y = 1 – 3z 1 + 4z + y = 1 – 3z

     

    y = 1 – 3z – 1 – 4z

     

    y = –7z

     

    Si hacemos z = l, lÎÂ, entonces tenemos:

     

     

     

    Por tanto las coordenadas de cualquier punto de  r son: Q (–1–4l, –7l, l).

     

     

     

    Como los vectores PQ y u han de ser perpendiculares, se debe cumplir que su producto escalar sea igual a cero, es decir:

     

    PQ·u = 0

     

    PQ = [(–1–4l) – 1, –7l – 2, l – 0] = (–2–4l, –2–7l, l)

     

    u = (–4, –7, 1)

     

    (–2–4l, –2–7l, l)·(–4, –7, 1) = 0

     

    8 + 16l + 14 + 49l + l = 0

     

    66l + 22 = 0 l = –22/66 = –1/3

     

    Las componentes del vector PQ son:

     

     

     

    La distancia de P a r es el módulo del vector PQ.

     

     

     

    Segundo procedimiento:

    Aplicando la fórmula:

     

     

     

     

     

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