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Distancia entre un punto y una recta 03
Posted on febrero 20th, 2014 No commentsHalla la distancia del punto P(1, 2, 0) a la recta:
Solución:
Primer procedimiento.
Vamos a buscar una recta que sea perpendicular a la recta dada y que pase por el punto P. Una vez hallada dicha recta encontraremos el punto de corte con la recta r y la distancia entre este punto y el punto P será la distancia buscada.
Para hallar un punto cualquiera de r ponemos a ésta en forma paramétrica:
–(–1 – 4z) + y = 1 – 3z → 1 + 4z + y = 1 – 3z
y = 1 – 3z – 1 – 4z
y = –7z
Si hacemos z = l, lÎÂ, entonces tenemos:
Por tanto las coordenadas de cualquier punto de r son: Q (–1–4l, –7l, l).
Como los vectores PQ y u han de ser perpendiculares, se debe cumplir que su producto escalar sea igual a cero, es decir:
PQ·u = 0
PQ = [(–1–4l) – 1, –7l – 2, l – 0] = (–2–4l, –2–7l, l)
u = (–4, –7, 1)
(–2–4l, –2–7l, l)·(–4, –7, 1) = 0
8 + 16l + 14 + 49l + l = 0
66l + 22 = 0 → l = –22/66 = –1/3
Las componentes del vector PQ son:
La distancia de P a r es el módulo del vector PQ.
Segundo procedimiento:
Aplicando la fórmula:
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