Distancia entre un punto y una recta 03

Halla la distancia del punto P(1, 2, 0) a la recta:

Solución:

Primer procedimiento.

Vamos a buscar una recta que sea perpendicular a la recta dada y que pase por el punto P. Una vez hallada dicha recta encontraremos el punto de corte con la recta r y la distancia entre este punto y el punto P será la distancia buscada.

Para hallar un punto cualquiera de r ponemos a ésta en forma paramétrica:

–(–1 – 4z) + y = 1 – 3z → 1 + 4z + y = 1 – 3z

y = 1 – 3z – 1 – 4z

y = –7z

Si hacemos z = l, lÎÂ, entonces tenemos:

Por tanto las coordenadas de cualquier punto de  r son: Q (–1–4l, –7l, l).

Como los vectores PQ y u han de ser perpendiculares, se debe cumplir que su producto escalar sea igual a cero, es decir:

PQ·u = 0

PQ = [(–1–4l) – 1, –7l – 2, l – 0] = (–2–4l, –2–7l, l)

u = (–4, –7, 1)

(–2–4l, –2–7l, l)·(–4, –7, 1) = 0

8 + 16l + 14 + 49l + l = 0

66l + 22 = 0 → l = –22/66 = –1/3

Las componentes del vector PQ son:

La distancia de P a r es el módulo del vector PQ.

Segundo procedimiento:

Aplicando la fórmula: