Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Distancia entre un punto y una recta 01

    Posted on febrero 13th, 2014 Miralles No comments

     

    Dada la recta:

     

     

    y el punto P(3, 1, 2), calcula la distancia del punto P a la recta r por dos procedimientos distintos.

     

     

    Solución:

    Primer procedimiento:

    Vamos a buscar una recta que sea perpendicular a la recta dada y que pase por el punto P. Una vez hallada dicha recta encontraremos el punto de corte con la recta r y la distancia entre este punto y el punto P será la distancia buscada.

    Para hallar un punto cualquiera de r ponemos a ésta en forma paramétrica teniendo en cuenta que los denominadores de las fracciones son las componentes del vector director de r, o sea, u = (2, 1, 1), y que los valores del numerador con el signo cambiado son las coordenadas de un punto de r.

     

     

     

    Por tanto las coordenadas de cualquier punto de  r son: Q (1+2l, 2+l, –1+l).

     

     

     

    Como los vectores PQ y u han de ser perpendiculares, se debe cumplir que su producto escalar sea igual a cero, es decir:

     

    PQ·u = 0

     

    PQ = [(1+2l) – 3, (2+l) – 1, (–1+l) – 2]

     

    (–2+2l, 1+l, –3+l)·(2, 1, 1) = 0

     

    –4 + 4l + 1 + l – 3 + l = 0

     

    6l – 6 = 0 l = 1

     

    Las coordenadas del punto Q son:

     

    (1 + 2·1, 2 + 1, –1 + 1) = 3, 3, 0)

     

    Las coordenadas del vector PQ son:

     

    (3 – 3, 3 – 1, 0 – 2) = (0, 2, –2)

     

    La distancia de P a r es el módulo del vector PQ.

     

     

     

    Segundo procedimiento:

    Aplicando la fórmula:

     

     

     

     

     

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