Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Bisectriz de un ángulo 02

    Posted on febrero 10th, 2014 Miralles No comments

     

    Halla las bisectrices del ángulo formado por las rectas:

     

     

     

    Comprueba que ambas bisectrices son perpendiculares y coplanarias con r y s.

     

     

    Solución:

     

     

     

    Para hallar las bisectrices de los ángulos formados por dos rectas, se averigua, primeramente, el punto de corte de ambas rectas. Después se buscan los vectores directores de las bisectrices que son ur + us y urus si las normas de ur y us son iguales. En caso contrario, se trabaja con sus unitarios.

    Punto de corte de ambas rectas:

     

     

     

    Veamos si se verifica tercera ecuación:

     

    2·0 = 0 ® 0 = 0

     

    luego, sí.

    El punto de corte es:

     

    x = 0, y = 0, z = 2·0

     

    P(0, 0, 0)

     

    Ahora veamos si los vectores directores de las rectas tienen normas iguales.

     

     

     

    Como las normas son iguales, los vectores directores de las bisectrices son:

     

     

     

    Ecuaciones de las ecuaciones de las bisectrices:

     

     

     

    Veamos si ambas bisectrices son perpendiculares:

     

    (2, 1, 3)·(0, –3, 1) = 0 – 3 +3 = 0

     

    Como el producto escalar de los vectores de las bisectrices es igual a cero, ambas bisectrices son perpendiculares.

    Busquemos las ecuaciones del plano que contiene a r y s.

    Puntos del plano: P(0,0,0,). Vectores directores: (1, –1, 2) y (1, 2, 1)

    Primero expresaremos las ecuaciones del plano en paramétricas y después las pasaremos a implícitas.

     

     

     

    p º x (–1 – 4) – y (1 – 2) + z (2 + 1) = 0

     

    p º 5x – y – 3z = 0

     

    Hallemos las ecuaciones del plano que contiene a las dos bisectrices.

    Puntos del plano: P(0, 0, 0). Vectores directores: (2, 1, 3) y (0, –3, 1)

    Expresaremos las ecuaciones del plano en paramétricas y después las pasaremos a implícitas.

     

     

     

    pº x (1 + 9) – y (2 – 0) + z (–6 – 0) = 0

     

    pº 10x – 2y  – 6z = 0

     

    Simplificando:

     

    pº 5x – y – 3z = 0

     

    Ambos planos son el mismo, luego las rectas r, s, b y b’ son coplanarias.

     

     

     

     

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