Ángulo formado por una recta y un plano 02

Los puntos B(1, 2, 3), C(2, 3, 3) y D(3, 2, 4) junto con el punto A forman un tetraedro ABCD. Halla:

a)  La ecuación del plano BCD.

b)  El ángulo que forma la recta BC y el plano p º x + 2y +3z = 9.

c)  Si AC y AD son perpendiculares a BD y BC respectivamente, y si la longitud del segmento AB es raíz cuadrada de 26, halla las coordenadas del punto A. ¿Cuántas soluciones hay?

Solución:

a)  Vectores directores del plano:

BC = (1, 1, 0) y BD = (2, 0, 1)

Ecuación paramétrica del plano:

Eliminado los parámetros a y b se llega a la ecuación general:

(x – 1 ) (1 – 0) – (y – 2) (1 – 0) + (z – 3) (0 – 2) = 0

x – 1 – y + 2 – 2z + 6 = 0

x – y – 2z + 7 = 0

b)  Dato: p º x + 2y +3z = 9    

b = 90º – a

Aplicando el producto escalar de dos vectores:

Vector director de r (recta que pasa por los puntos B y C):

Vector normal de p:

Ángulo que forman r y p:

b = 90º – 55,5º = 34,5º

c)  A(x, y, z)

Si los vectores AC y BD son perpendiculares su producto escalar será cero y lo mismo ocurrirá con los vectores AD y BC.

AC = (2 – x, 3 – y, 3 – z)

BD = (2, 0, 1)

(2 – x, 3 – y, 3 – z) (2, 0, 1) = 4 – 2x + 0 + 3 – z = 0

2x + z – 7 = 0

AD = (3 – x , 2 – y, 4 – z)

BC = (1, 1, 0)

(3 – x , 2 – y, 4 – z) (1, 1, 0) = 3 – x + 2 – y + 0 = 0

x + y – 5 = 0

(1 – x)² + (2 – y)² + (3 – z)² = 26

De los dos productos escalares tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Despejando z de la primera ecuación e y de la segunda y sustituyendo en la expresión hallada en la longitud del segmento AB, obtenemos:

z = –2x + 7

y = –x + 5

(1 – x)² + (2 + x – 5)² + (3 + 2x – 7)² = 26

(1 – x)² + (x – 3)² + (2x – 4)² = 26

1 – 2x + x² + x² – 6x + 9 + 4x² – 16x + 16 – 26 = 0

6x² – 24x = 0 ® x² – 4 x = 0 ® x (x – 4) = 0

Primera solución: x = 0 ® z = 7, y = 5

Segunda solución: x – 4 = 0 ® x = 4 ® z = –1, y = 1

Hay dos soluciones: A(0, 5, 7) y A(4, 1, –1)