Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Proyección ortogonal 05

    Posted on enero 16th, 2014 Miralles No comments

     

    Halla la recta s simétrica a r respecto del plano a, siendo:

     

     

     

    Solución:

     

     

     

    La recta s es la que pasa por los puntos B y A’’, siendo el primer punto la intersección de r con a y el segundo el simétrico de A con respecto al plano a.

    Por tanto, primero hallaremos el punto B.

    Pasamos a paramétricas las ecuaciones de r.

     

     

     

    Sustituimos los valores de las incógnitas en a para hallar el valor de l.

     

    3 (1 + 4l) – 6 (2 + 2l) + (3 + 3l) – 1 = 0

     

    3 + 12l – 12 – 12l + 3 + 3l – 1 = 0

     

    3l – 7 = 0

     

    l = 7/3

     

    Ahora sustituimos el valor de l en r con lo cual hallaremos el valor de B.

     

    x = 1 + 4 (7/3) = 1 + (28/3) = 31/3

     

    y = 2 + 2 (7/3) = 2 + (14/3) = 20/3

     

    z = 3 + 3 (7/3) = 3 + 7 = 10

     

    B(31/3, 20/3, 10)

     

    Para hallar las coordenadas de A’’ necesitamos, primero, encontrar las de A’, para lo cual averiguaremos ecuación de la recta r’que pasa por A y es perpendicular a a y, por tanto, tendrá como vector director el vector característico del plano.

     

     

     

    Sustituimos los valores de las incógnitas en a para hallar el valor de m.

     

    3 (1 + 3m) – 6 (2 – 6m) + (3 + m) – 1 = 0

     

    3 + 9m – 12 + 36m + 3 + m – 1 = 0

     

    46m – 7 = 0

     

    m = 7/46

     

    Ahora sustituimos el valor de m en r’ con lo cual hallaremos el valor de A’.

     

    x = 1 + 3 (7/46) = 1 + (21/46) = 67/46

     

    y = 2 – 6 (7/46) = 2 – (42/46) = 50/46

     

    z = 3 + (7/46) = 145/46

     

    A’(67/46, 50/46, 145/46)

     

    Como A’ es el punto medio del segmento AA”, tenemos que:

     

    67/46 = (x” + 1)/2

     

    134 = 46x” + 46

     

    46x” = 88 x” = 88/46 = 44/23

     

    50/46 = (y” + 2)/2

     

    100 = 46y” + 92

     

    46y” = 8 y” = 8/46 = 4/23

     

    145/46 = (z” + 3)/2

     

    290 = 46z” + 138

     

    46z” = 152 x” = 152/46 = 76/23

     

    A”(44/23, 4/23, 76/23)

     

    Vector director de la recta s:

     

     

     

    O, también:

     

    u = (581, 448, 462)

     

    Ecuación de la recta s:

     

     

     

     

     

    Leave a Reply