Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Proyección ortogonal 04

    Posted on enero 13th, 2014 Miralles No comments

     

    Determina la proyección ortogonal sobre el plano a º 3x – 2y + 5z + 11 = 0  de:

    a)  El punto P(–1, 2, 3)

    b)  La recta:

     

     

     

     

    Solución:

    a)    

     

     

     

    Se trata de hallar el punto de intersección, M, entre la recta t y el plano a.

    Como t es perpendicular al plano a, el vector característico (normal) del plano será un vector director de la recta.

    Por tanto hemos de hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene por vector director a n = (3, –2, 5).

    Ecuaciones paramétrica de t:

     

     

     

    Sustituyendo en el plano tendremos:

     

    3 (–1 + 3l) – 2 (2 – 2l) + 5 (3 + 5l) + 11 = 0

     

    –3 + 9l – 4 + 4l + 15 + 25l + 11 = 0

     

    38l + 19 = 0 l = –19/38 = –1/2

     

    Sustituyendo el valor de l en las ecuaciones de la recta, tendremos las coordenadas del punto M:

     

    x = –1 + 3 (–1/2) = –1 – (3/2) = –5/2

     

    y = 2 – 2 (–1/2) = 2 + 1 = 3

     

    z = 3 + 5 (–1/2) = 3 – (5/2) = 1/2

     

    M(–5/2, 3, 1/2)

     

    b)     

     

     

     

    La recta r’ es la intersección del plano a con el plano b, perpendicular  a, y que contiene a la recta r. Por tanto debemos encontrar la ecuación de b ya que la de a ya la tenemos.

    Para hallar la ecuación de b vamos a hallar un punto y dos vectores directores.

    De la recta r obtenemos las coordenadas del punto A(1, –2, 0) y un vector director v = (2, 3,1).

    Como b es perpendicular al plano a el vector característico (normal) n = (3, –2, 5) de este plano, será un vector director de aquél.

    Ecuaciones paramétricas del plano b:

     

     

     

    Ahora pasamos las ecuaciones paramétricas del plano b a implícitas, eliminando los parámetros m y d.

     

     

     

     (x – 1) (15 + 2) – 2 (5y + 10 + 2z) + 3 (y + 2 – 3z) = 0

     

    17x – 17 – 10y – 20 – 4z + 3y + 6 – 9z = 0

     

    b º 17x – 7y – 13z – 31 = 0

     

    Ecuaciones implícitas de la recta r’:

     

     

     

     

     

     

     

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