Proyección ortogonal 03

Halla la ecuación de la proyección r’ de la recta:

sobre el plano: a º 2x – y + 3z + 6 = 0.

Solución:

La recta r’ es la intersección del plano a con el plano b, perpendicular a  a, y que contiene a la recta r. Por tanto debemos encontrar la ecuación de b ya que la de a ya la tenemos.

Para hallar la ecuación de b vamos a hallar un punto y dos vectores directores.

De la recta r obtenemos las coordenadas del punto A(2, 1, 0) y un vector director v = (1, 2, –1).

Como b es perpendicular a a el vector característico n = (2, –1, 3) de este plano, será un vector director de aquél.

Ecuaciones paramétricas del plano b:

Ahora pasamos las ecuaciones paramétricas del plano b a implícitas, eliminando los parámetros m y d.

(x – 2) (1 – 6) – (y – 1) (–2 – 3) + z (4 + 1) = 0

–5x + 10 + 5y – 5 + 5z = 0

b º x – y – z – 1 = 0

Ecuaciones implícitas de la recta r’:

Otra forma de realizar este problema es la siguiente:

La proyección P’ de un punto P sobre el plano a es la intersección con el plano de la perpendicular a a trazada por el punto P.

La recta r’, proyección de la recta r sobre a, se obtiene hallando la proyección de dos puntos de r. Uno de ellos puede ser el punto de corte M y el otro un punto cualquiera.

Las ecuaciones paramétricas de r son:

Sustituyendo en la ecuación del plano resulta:

2 (2 + l) – (1 + 2l) + 3 (–l) + 6 = 0

4 + 2l – 1 – 2l – 3l + 6 = 0 

–3l + 9 = 0 → l = 9/3 = 3

Sustituyendo l en las ecuaciones paramétrica de r se obtiene:

M(5, 7, –3)

Otro punto de la recta es P(2, 1, 0)

La ecuación de la recta PP’, perpendicular a a, tiene por vector director el vector normal del plano: n = (2, –1, 3)

Ecuaciones paramétricas de PP’:

El punto P’, de corte con el plano, lo hallaremos sustituyendo en la ecuación del plano:

2 (2 + 2m) – (1 – m) + 3 (3m) + 6 = 0

4 + 4m – 1 + m + 9m + 6 = 0

14m + 9 = 0 → m = –9/14

Coordenadas del punto P’:

x = 2 + 2 (–9/14) = 2 – (18/14) = 10/14

y = 1 – (–9/14) = 1 + (9/14) = 23/14

z = 3 (–9/14) = –27/14

P’(10/14, 23/14, –27/14)

Un vector director de r’ (proyección de r sobre a) es:

O, también: (–4, –5, 1)

Ecuaciones paramétricas de r’:

Veamos si un punto cualquiera de r’ verifica las ecuaciones implícitas de r’ hallada en la primera forma y así comprobaremos que el resultado es el mismo:

Primera ecuación:

2 (5 – 4d) – (7 – 5d) + 3 (–3 + d) + 6 = 0

10 – 8d – 7 + 5d – 9 + 3d + 6 = 0

0 + 0 = 0

Segunda ecuación:

(5 – 4d) – (7 – 5d) – (–3 + d) – 1 = 0

5 – 4d – 7 + 5d + 3 – d – 1 = 0

0 + 0 = 0

Las dos ecuaciones se verifican. Ambas rectas son la misma.