Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Proyección ortogonal 02

    Posted on diciembre 19th, 2013 Miralles No comments

     

    Halla la longitud de la proyección de los puntos A(1, 1, 1) y B(–1, 0, 2) sobre el plano:

     

     

     

    Solución:

     

     

     

    La distancia buscada es la que hay entre los puntos A’ y B’, que son, respectivamente, las intersecciones de las rectas que pasan por A y B, y que son perpendiculares al plano a. 

    Pasemos a implícitas las ecuaciones del plano eliminando los parámetros λ y μ. 

     

     

     

    x (4 – 2) – (y – 1) (2 + 4) + (z – 2) (–1 – 4) = 0

     

    2x – 6y + 6 – 5z + 10 = 0

     

    π ≡ 2x – 6y – 5z + 16 = 0

     

    La recta r, que pasa por A y es perpendicular a α, tiene por vector director el vector característico del plano α, o sea (2, –6, –5):

    Ecuaciones paramétricas de r:

     

     

     

    Para hallar la intersección de r y α, sustituiremos en el plano el valor de las incógnitas de la recta, para encontrar el valor del parámetro γ.

     

    2 (1 + 2γ) – 6 (1 – 6γ) – 5 (1 – 5γ) + 16 = 0

     

    2 + 4γ – 6 + 36γ – 5 + 25γ + 16 = 0 

     

    65γ + 7 = 0 γ = –7/65

     

    Coordenadas del punto A’:

     

    x = 1 + 2 (–7/65) = 1 – (14/65) = 51/65

     

    y = 1 – 6 (–7/65) = 1 + (42/65) = 107/65

     

    z = 1 – 5 (–7/65) = 1 + (35/65) = 100/65

     

    A’(51/65, 107/65, 100/65)

     

    Recta s, que pasa por B y es perpendicular a α también tiene por vector director, el vector característico del plano α, (2, –6, –5):

    Ecuaciones paramétricas de s:

     

     

     

    Para hallar la intersección de s y a, sustituiremos en el plano el valor de las incógnitas de la recta, para encontrar el valor del parámetro δ.

     

    2 (–1 + 2δ) – 6 (–6δ) – 5 (2 – 5δ) + 16 = 0

     

    –2 + 4δ + 36δ – 10 + 25δ + 16 = 0

     

    65δ + 4 = 0 δ = –4/65

     

    Coordenadas del punto B’:

     

    x = –1 + 2 (–4/65) = –1 – 8/65 = –73/65

     

    y = –6 (–4/65) = 24/65

     

    z = 2 – 5 (–4/65) = 2 + 20/65 = 150/65

     

    B’(–73/65, 24/65, 150/65)

     

    Distancia entre los puntos A’ y B’:

     

     

     

     

     

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