Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Proyección ortogonal 01

    Posted on diciembre 16th, 2013 Miralles No comments

     

    Dado el punto A(2, 1, 1) y la recta:

     

     

     

    calcula:

    a)  La proyección ortogonal de A sobre r.

    b)   El simétrico de A respecto de r.

     

     

    Solución:

    a)    

     

     

     

    La proyección de A sobre r es el punto de corte, M, de una recta, s, perpendicular a r y que pasa por A.

    Para hallar las coordenadas de M, primero pasaremos a paramétricas las ecuaciones de la recta r:

     

     

    Cualquier punto de r tendrá por coordenadas: M(1 + 3λ, 4λ, 12 – 2λ)

    Vector director de t:

     

     

     

    Como los vectores directores de ambas rectas deben ser perpendiculares, se debe cumplir que su producto escalar ha de ser igual a cero.

     

    (3λ – 1, 4λ – 1, –2λ + 11)·(3, 4, –2) = 0

     

    9λ – 3 + 16λ – 4 + 4λ – 22 = 0

     

    29λ – 29 = 0  λ = 1

     

    Luego las coordenadas del punto M son:

     

    (1 + 3·1, 4·1, 12 – 2·1) = (4, 4, 10)

     

    b)   

     

     

     

    Si A’ es el punto simétrico de A con respecto de r se debe cumplir que M ha de ser el punto medio del segmento AA’, luego por las coordenadas del punto medio tenemos:

     

    4 = (2 + x’)/2 2 + x’ = 8 x’ = 6

     

    4 = (1 + y’)/2 1 + y’ = 8 y’ = 7

     

    10 = (1 + z’)/2 1 + z’ = 20 z’ = 19

     

    A’(6, 7, 19)

     

     

     

     

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