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Proyección ortogonal 01
Posted on diciembre 16th, 2013 No commentsDado el punto A(2, 1, 1) y la recta:
calcula:
a) La proyección ortogonal de A sobre r.
b) El simétrico de A respecto de r.
Solución:
a)
La proyección de A sobre r es el punto de corte, M, de una recta, s, perpendicular a r y que pasa por A.
Para hallar las coordenadas de M, primero pasaremos a paramétricas las ecuaciones de la recta r:
Cualquier punto de r tendrá por coordenadas: M(1 + 3λ, 4λ, 12 – 2λ)
Vector director de t:
Como los vectores directores de ambas rectas deben ser perpendiculares, se debe cumplir que su producto escalar ha de ser igual a cero.
(3λ – 1, 4λ – 1, –2λ + 11)·(3, 4, –2) = 0
9λ – 3 + 16λ – 4 + 4λ – 22 = 0
29λ – 29 = 0 → λ = 1
Luego las coordenadas del punto M son:
(1 + 3·1, 4·1, 12 – 2·1) = (4, 4, 10)
b)
Si A’ es el punto simétrico de A con respecto de r se debe cumplir que M ha de ser el punto medio del segmento AA’, luego por las coordenadas del punto medio tenemos:
4 = (2 + x’)/2 → 2 + x’ = 8 → x’ = 6
4 = (1 + y’)/2 → 1 + y’ = 8 → y’ = 7
10 = (1 + z’)/2 → 1 + z’ = 20 → z’ = 19
A’(6, 7, 19)
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