Proyección ortogonal 01

Dado el punto A(2, 1, 1) y la recta:

calcula:

a)  La proyección ortogonal de A sobre r.

b)   El simétrico de A respecto de r.

Solución:

a)    

La proyección de A sobre r es el punto de corte, M, de una recta, s, perpendicular a r y que pasa por A.

Para hallar las coordenadas de M, primero pasaremos a paramétricas las ecuaciones de la recta r:

Cualquier punto de r tendrá por coordenadas: M(1 + 3λ, 4λ, 12 – 2λ)

Vector director de t:

Como los vectores directores de ambas rectas deben ser perpendiculares, se debe cumplir que su producto escalar ha de ser igual a cero.

(3λ – 1, 4λ – 1, –2λ + 11)·(3, 4, –2) = 0

9λ – 3 + 16λ – 4 + 4λ – 22 = 0

29λ – 29 = 0 → λ = 1

Luego las coordenadas del punto M son:

(1 + 3·1, 4·1, 12 – 2·1) = (4, 4, 10)

b)   

Si A’ es el punto simétrico de A con respecto de r se debe cumplir que M ha de ser el punto medio del segmento AA’, luego por las coordenadas del punto medio tenemos:

4 = (2 + x’)/2 → 2 + x’ = 8 → x’ = 6

4 = (1 + y’)/2 → 1 + y’ = 8 → y’ = 7

10 = (1 + z’)/2 → 1 + z’ = 20 → z’ = 19

A’(6, 7, 19)