Planos perpendiculares 01

Encuentra un plano α que contenga a la recta:

y que sea perpendicular al plano: β ≡ 2x + 3y + z – 6 = 0.

Solución:

Para poder hallar la ecuación de α necesitamos un punto y dos vectores directores.

Por contener a r el punto (2, 1, –1) y el vector (1, 1, 3) pertenecientes a la recta también pertenecen al plano α.

Por ser perpendicular a β, el vector normal (2, 3, 1) de éste será un vector director de α.

Por tanto, las ecuaciones paramétricas de α son:

Eliminando los parámetros μ y γ podemos pasar a implícitas:

–8x + 16 + 5y – 5 + z + 1 = 0

α ≡ 8x – 5y – z – 12 = 0

También se puede hacer de la siguiente forma:

Haz de planos que contienen a r:

x – y – 1 + λ (3x – z – 7) = 0

x – y – 1 + 3λx – λz – 7λ = 0

(3λ + 1) x – y – λz – (1 + 7λ) = 0

De todos los planos que componen el haz queremos hallar el que sea perpendicular a β, luego el producto escalar de sus vectores normales ha de ser cero.

2 (3λ + 1) + 3 (–1) + 1 (–λ) = 0

6λ + 2 – 3 – λ = 0 → 5λ – 1 = 0 → λ = 1/5