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Planos perpendiculares 01
Posted on diciembre 2nd, 2013 No commentsEncuentra un plano α que contenga a la recta:
y que sea perpendicular al plano: β ≡ 2x + 3y + z – 6 = 0.
Solución:
Para poder hallar la ecuación de α necesitamos un punto y dos vectores directores.
Por contener a r el punto (2, 1, –1) y el vector (1, 1, 3) pertenecientes a la recta también pertenecen al plano α.
Por ser perpendicular a β, el vector normal (2, 3, 1) de éste será un vector director de α.
Por tanto, las ecuaciones paramétricas de α son:
Eliminando los parámetros μ y γ podemos pasar a implícitas:
–8x + 16 + 5y – 5 + z + 1 = 0
α ≡ 8x – 5y – z – 12 = 0
También se puede hacer de la siguiente forma:
Haz de planos que contienen a r:
x – y – 1 + λ (3x – z – 7) = 0
x – y – 1 + 3λx – λz – 7λ = 0
(3λ + 1) x – y – λz – (1 + 7λ) = 0
De todos los planos que componen el haz queremos hallar el que sea perpendicular a β, luego el producto escalar de sus vectores normales ha de ser cero.
2 (3λ + 1) + 3 (–1) + 1 (–λ) = 0
6λ + 2 – 3 – λ = 0 → 5λ – 1 = 0 → λ = 1/5
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