Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Planos perpendiculares 01

    Posted on diciembre 2nd, 2013 Miralles No comments

     

    Encuentra un plano α que contenga a la recta:

     

     

    y que sea perpendicular al plano: β ≡ 2x + 3y + z – 6 = 0.

     

     

    Solución:

    Para poder hallar la ecuación de α necesitamos un punto y dos vectores directores.

    Por contener a r el punto (2, 1, –1) y el vector (1, 1, 3) pertenecientes a la recta también pertenecen al plano α.

    Por ser perpendicular a β, el vector normal (2, 3, 1) de éste será un vector director de α.

    Por tanto, las ecuaciones paramétricas de α son:

     

     

     

    Eliminando los parámetros μ y γ podemos pasar a implícitas:

     

     

     

    –8x + 16 + 5y – 5 + z + 1 = 0

     

    α ≡ 8x – 5y – z – 12 = 0

     

    También se puede hacer de la siguiente forma:

     

     

     

    Haz de planos que contienen a r:

     

     

     

    x – y – 1 + λ (3x – z – 7) = 0

     

    x – y – 1 + 3λx – λz – 7λ = 0

     

    (3λ + 1) x – y – λz – (1 + 7λ) = 0

     

    De todos los planos que componen el haz queremos hallar el que sea perpendicular a β, luego el producto escalar de sus vectores normales ha de ser cero.

     

    2 (3λ + 1) + 3 (–1) + 1 (–λ) = 0

     

    6λ + 2 – 3 – λ = 0 5λ – 1 = 0  λ = 1/5

     

     

     

     

     

     

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