Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Perpendicular común a dos rectas 02

    Posted on noviembre 29th, 2013 Miralles No comments

     

    Dadas las rectas:

     

     

    a)  Hallar la recta perpendicular a ambas (“perpendicular común”)

    b)  Hallar la distancia entre r y s.

     

     

    Solución:

    a)    

     

     

     

    Coordenadas de un punto cualquiera de la recta r:

     

    A(1 – λ, λ, –1 + λ)

     

    Coordenadas de un punto cualquiera de la recta s:

     

    B(1 + μ, 1 + 2μ, –μ)

     

    Componentes de vector cualquiera, BA, perpendicular a los vectores directores us y ur:

     

    Por ser perpendicular BA a ur = (1, 1, 1):

     

    (λ μ,λ – 1 – 2μ, –1 + λ  + μ)·(–1, 1, 1) = 0

     

    λ + μ + λ – 1 – 2μ –1 + λ + μ = 0

     

    3λ – 2 = 0 3λ = 2 λ = 2/3

     

     

     

    Por ser perpendicular BA a us = (1, 2, –1):

     

    (l μ, l – 1 – 2μ, –1 + l  + μ)·(1, 2, –1) = 0

     

    l μ + 2l – 2 – 4μ + 1 – l μ = 0

     

    –6μ – 1 = 0 –6μ = 1 μ = –1/6

     

     

     

    La recta que pasa por A y por B es la perpendicular común a r y s:

     

     

     

    O también:

     

     

     

    Ecuaciones paramétricas de la recta t perpendicular a r y s:

     

     

     

    b)  Distancia entre r y s:

     

     

     

     

     

     

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