Rectas perpendiculares 02

a)    Halla el conjunto s de rectas que, pasando por el punto A(3, –1, 0), son perpendiculares a la recta:

b)    Comprueba que cualquier recta s pasa por el punto A, y es perpendicular a r.

c)    ¿Podría encontrarse un plano que contuviese todas las rectas de s?

Solución:

a)  Haz de rectas que pasan por el punto A, para cualquier valor de a, b y c no todos nulos:

Para que una recta que pertenece al haz anterior sea perpendicular a r, se debe cumplir que el producto escalar de sus vectores directores ha de ser igual a cero, Por tanto:

(a, b, c,)·(1, 4, –2) = 0 → a + 4b – 2c = 0 → a = 2c – 4b 

donde entre los parámetros b y c sólo uno es libre.

b)  Cualquier recta de s pasa por A, si verifica la ecuación anteriormente encontrada, o sea:

Luego sí.

Veamos si también se verifica la perpendicularidad.

(2c – 4b, b, c,)·(1, 4, –2) = 0 → 2c – 4b + 4b – 2c = 0 

Por tanto, sí.

c)

Haz de plano perpendiculares a r:

x + 4y – 2z + D = 0

Por pasa por A:

3 + 4 (–1) – 2 (0) + D = 0

3 – 4 + D = 0 → D = 1

Ecuación del plano:

x + 4y – 2z + 1 = 0