Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas perpendiculares 02

    Posted on noviembre 11th, 2013 Miralles No comments

     

    a)    Halla el conjunto s de rectas que, pasando por el punto A(3, –1, 0), son perpendiculares a la recta:

     

    b)    Comprueba que cualquier recta s pasa por el punto A, y es perpendicular a r.

    c)    ¿Podría encontrarse un plano que contuviese todas las rectas de s?

     

     

    Solución:

    a)  Haz de rectas que pasan por el punto A, para cualquier valor de a, b y c no todos nulos:

     

     

     

    Para que una recta que pertenece al haz anterior sea perpendicular a r, se debe cumplir que el producto escalar de sus vectores directores ha de ser igual a cero, Por tanto:

     

    (a, b, c,)·(1, 4, –2) = 0 a + 4b – 2c = 0 a = 2c – 4b 

     

     

     

    donde entre los parámetros b y c sólo uno es libre.

    b)  Cualquier recta de s pasa por A, si verifica la ecuación anteriormente encontrada, o sea:

     

     

     

    Luego sí.

    Veamos si también se verifica la perpendicularidad.

     

    (2c – 4b, b, c,)·(1, 4, –2) = 0 2c – 4b + 4b – 2c = 0 

     

    Por tanto, sí.

    c)

     

     

     

    Haz de plano perpendiculares a r:

     

    x + 4y – 2z + D = 0

     

    Por pasa por A:

     

    3 + 4 (–1) – 2 (0) + D = 0

     

    3 – 4 + D = 0 D = 1

     

    Ecuación del plano:

     

    x + 4y – 2z + 1 = 0

     

     

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