Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas perpendiculares 01

    Posted on noviembre 7th, 2013 Miralles No comments

     

    a)  Halla la recta s que sea perpendicular a:

     

    que se apoya en ella y pase por el punto: A(2, 1, –4).

    b)  Comprueba que la recta obtenida pasa por A, es perpendicular a r y se corta con ella en un solo punto. ¿Cuál?

     

     

    Solución:

    a)    

     

     

     

    Para poder hallar la ecuación de la recta s necesitamos encontrar un vector director, AP, ya que poseemos el punto A de dicha recta.  

    Como el punto P es un punto cualquiera de r su coordenadas son: P(λλ + 2, –3λ + 1). Por tanto las componentes del vector AP son:

     

     

     

    Haz de rectas que pasan por A y se apoyan en r:

     

     

     

    Las recta s y r han de ser perpendiculares, por lo que también deben serlo sus vectores directores, luego:

     

     

     

    (λ – 2, λ + 1, –3λ + 5)·(1, 1, –3) = 0

     

    λ – 2 + λ + 1 + 9λ – 15 = 0

     

    11λ – 16 = 0  λ = 16/11

     

    Luego las ecuaciones de la recta serán:

     

     

     

    b)  Si la recta s pasa por el punto A debe verificar las ecuaciones halladas.

     

     

     

    Luego s pasa por A.

    Si s es perpendicular a r el producto escalar de sus vectores directores ha de ser igual a cero.

     

    (–6, 27, 7)·(1, 1, –3) = –6 + 27 – 21 = 0

     

    Por tanto r y s son perpendiculares.

    Como el valor de λ es único, sólo hay un resultado para cada una de las incógnitas y por tanto el punto de corte también será único.

    Coordenadas del punto de corte:

     

    x = 16/11

     

    y = (16/11) + 2 = 38/11

     

    z = –3 (16/11) + 1 = (–48/11) + 1 = – 37/11

     

    P(16/11, 38/11, –37/11)

     

     

     

     

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