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Rectas perpendiculares 01
Posted on noviembre 7th, 2013 No commentsa) Halla la recta s que sea perpendicular a:
que se apoya en ella y pase por el punto: A(2, 1, –4).
b) Comprueba que la recta obtenida pasa por A, es perpendicular a r y se corta con ella en un solo punto. ¿Cuál?
Solución:
a)
Para poder hallar la ecuación de la recta s necesitamos encontrar un vector director, AP, ya que poseemos el punto A de dicha recta.
Como el punto P es un punto cualquiera de r su coordenadas son: P(λ, λ + 2, –3λ + 1). Por tanto las componentes del vector AP son:
Haz de rectas que pasan por A y se apoyan en r:
Las recta s y r han de ser perpendiculares, por lo que también deben serlo sus vectores directores, luego:
(λ – 2, λ + 1, –3λ + 5)·(1, 1, –3) = 0
λ – 2 + λ + 1 + 9λ – 15 = 0
11λ – 16 = 0 → λ = 16/11
Luego las ecuaciones de la recta serán:
b) Si la recta s pasa por el punto A debe verificar las ecuaciones halladas.
Luego s pasa por A.
Si s es perpendicular a r el producto escalar de sus vectores directores ha de ser igual a cero.
(–6, 27, 7)·(1, 1, –3) = –6 + 27 – 21 = 0
Por tanto r y s son perpendiculares.
Como el valor de λ es único, sólo hay un resultado para cada una de las incógnitas y por tanto el punto de corte también será único.
Coordenadas del punto de corte:
x = 16/11
y = (16/11) + 2 = 38/11
z = –3 (16/11) + 1 = (–48/11) + 1 = – 37/11
P(16/11, 38/11, –37/11)
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