Rectas que se apoyan en otras dos 07

Dada la recta:

halla la ecuación de una paralela a ella que se apoya en las rectas:

Solución:

Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas:

Vector director de s:

u = (–4, 3, –2)

Vector director de t:

v = (–1, –2, 5)

Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

Ahora pasaremos a paramétricas ambas rectas:

Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

1 – 11µ  = 0 → 11µ  = 1 → µ= 1/11

–4λ = –1 – (1/11) = –12/11

l  = 12/44 = 3/11

Veamos si las soluciones halladas verifican la segunda ecuación:

Primer miembro:

2 + 3 (3/11) = 2 + (9/11) = 31/11

Segundo miembro:

3 – 2 (1/11) = 3 – (2/11) = 31/11

Las soluciones halladas si verifican la segunda ecuación, por tanto el sistema es compatible, luego ambas rectas se cortan en un punto.

Coordenadas del punto de corte A:

x = –4 (3/11) = –12/11

y = 2 + 3 (3/11) = 2 + (9/11) = 31/11

z = –2 (3/11) = –6/11

A(–12/11, 31/11, –6/11)

Al ser paralelas la recta que se quiere hallar, r’,  tiene por vector director el mismo que el de la recta r, es decir, u = (3, 4, –1), por tanto sus ecuaciones paramétricas son: