Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas que se apoyan en otras dos 07

    Posted on octubre 28th, 2013 Miralles No comments

     

    Dada la recta:

      

     

    halla la ecuación de una paralela a ella que se apoya en las rectas:

     

     

     

     

    Solución:

    Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas:

    Vector director de s:

     

    u = (–4, 3, –2)

     

    Vector director de t:

     

    v = (–1, –2, 5)

     

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Ahora pasaremos a paramétricas ambas rectas:

     

     

     

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    1 – 11µ  = 0 → 11µ  = 1 → µ= 1/11

     

    –4λ = –1 – (1/11) = –12/11

     

    l  = 12/44 = 3/11

     

    Veamos si las soluciones halladas verifican la segunda ecuación:

    Primer miembro:

     

    2 + 3 (3/11) = 2 + (9/11) = 31/11

     

    Segundo miembro:

     

    3 – 2 (1/11) = 3 – (2/11) = 31/11

     

    Las soluciones halladas si verifican la segunda ecuación, por tanto el sistema es compatible, luego ambas rectas se cortan en un punto.

     

     

     

    Coordenadas del punto de corte A:

     

    x = –4 (3/11) = –12/11

     

    y = 2 + 3 (3/11) = 2 + (9/11) = 31/11

     

    z = –2 (3/11) = –6/11

     

    A(–12/11, 31/11, –6/11)

     

    Al ser paralelas la recta que se quiere hallar, r’,  tiene por vector director el mismo que el de la recta r, es decir, u = (3, 4, –1), por tanto sus ecuaciones paramétricas son:

     

     

     

     

     

     

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