Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas que se apoyan en otras dos 06

    Posted on octubre 24th, 2013 Miralles No comments

     

    Dadas las rectas del espacio:

    a)  Di si se cortan, son paralelas, o se cruzan.

    b)  Halla la ecuación de la recta que pase por el origen y corta a las dos rectas dadas.

     

     

    Solución:

    a)  Pasando a paramétricas:

     

     

     

    Si ambas rectas son paralelas sus vectores directores serán proporcionales.

    Vector director de t: u = (1, –3, 1)

    Vector director de s: v = (5, 4, 1)

     

    (1/5) ≠ (–3/4) ≠ (1/1)

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    Veamos si el valor encontrado verifica la segunda ecuación:

     

     

     

    Luego el sistema es incompatible, por tanto ambas rectas no tienen ningún punto en común y como no son paralelas, se cruzan.

    b)    

     

     

     Sea r la recta buscada que vendrá determinada por la intersección de los planos α y β que pasan por O(0, 0, 0) y por las rectas t y s, respectivamente.

    Ecuación general del plano α.

    Haz de planos de arista t:

     

    λ (x – z + 1) + μ (y + 3z – 2) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista t y que pasa por el punto O.

     

    λ (0 – 0 + 1) + μ (0 + 0 – 2) = 0

     

    λ – 2 μ = 0 λ = 2 μ

     

    Si: μ = 1, entonces λ = 2.

     

    2 (x – z + 1) + 1 (y + 3z – 2) = 0

     

    2x – 2z + 2 + y + 3z – 2 = 0

     

    α ≡ 2x + y + z = 0

     

    Ecuación general del plano β.

    Haz de planos de arista s:

     

    λ (x – 5z – 4) + μ (y – 4z + 3) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista s y que pasa por el punto O.

     

    λ (0 – 0 – 4) + μ (0 – 0 + 3) = 0

     

    –4λ + 3 μ = 0 λ = (3/4) μ

     

    Si: μ = 4, entonces λ = 3.

     

    3 (x – 5z – 4) + 4 (y – 4z + 3) = 0

     

    3x – 15z – 12 + 4y – 16z + 12 = 0

     

    β ≡ 3x + 4y – 31z = 0

     

    Ecuación general de la recta r:

     

     

     

     

     

     

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