Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas que se apoyan en otras dos 05

    Posted on octubre 21st, 2013 Miralles No comments

     

    Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1, 1, 2) y corta a las rectas:

     

     

     

    Solución:

    Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas para lo cual se pasa a paramétricas ambas rectas.

     

     

     

    Si ambas rectas son paralelas sus vectores directores serán proporcionales.

    Vector director de s: u = (3, 1, –1)

    Vector director de t: v = (2, 1, 2)

     

    (3/2) ≠ (1/1) ≠ (–1/2)

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    Veamos si las soluciones halladas verifican la tercera ecuación:

     

    Primer miembro: 1 – (–1) = 1 + 1 = 2

     

    Segundo miembro: –1 + 2·(–1) = –1 – 2 = –3

     

    2 ≠ –3

     

    Luego el sistema es incompatible, por tanto ambas rectas no tienen ningún punto en común y como no son paralelas, se cruzan.

     

     

     

    Sea r la recta buscada que vendrá determinada por la intersección de los planos α y β que pasan por P(1, 1, 2) y por las rectas s y t, respectivamente.

    Ecuación general del plano α.

    Primero pondremos en forma general la ecuación de t:

     

     

     

    Haz de planos de arista t:

     

    2x – 3y – 2 + k (y + 2z – 2) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista t y que pasa por el punto P.

     

    2 (1) – 3 (1) – 2 + k (1 + 2·2 – 2) = 0

     

    –3 + 3k = 0 k = 1

     

    2x – 3y – 2 + 1(y + 2z – 2) = 0

     

    2x – 3y – 2 + y + 2z – 2 = 0

     

    2x – 2y + 2z – 4 = 0

     

    α ≡ x – y + z – 2 = 0

     

    Ecuación general del plano β.

    Primero pasaremos a general la ecuación de s:

     

     

     

    Haz de planos de arista s:

     

    x – 2y + k (x – z – 1) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista s y que pasa por el punto P.

     

    1 – 2(1) + k (1 – 2 – 1) = 0

     

    –1 – 2k = 0 k = –1/2

     

    x – 2y + (–1/2) (x – z – 1) = 0

     

    2x – 4y – x + z + 1 = 0

     

    β ≡ x – 4y + z + 1 = 0 

     

    Ecuación general de la recta r:

     

     

     

     

     

     

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