Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas que se apoyan en otras dos 01

    Posted on octubre 7th, 2013 Miralles No comments

     

    Halla la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1, 0, –1) y corta a las rectas:

     

     

     

    Solución:

     

     

     

    La recta r vendrá determinada por la intersección de los planos α y β que pasan por P y contienen a las rectas t y s, respectivamente.

     

     

     

    Del plano α se obtienen los siguientes datos:

    Punto genérico del plano a: M(x, y, z)

    Punto perteneciente a la recta t: A(3, 0, 1)

    Punto por el que debe pasar la recta r: P(1, 0, –1)

    Vector director de la recta t: ut = (1, 1, 1)

    Vector formado por los puntos A y P: AP = (–2, 0, –2)

    Vector formado por los puntos A y M: AM = (x – 3, y – 0, z – 1)

    Ecuación del plano α (los tres vectores son coplanarios):

     

     

     

    Para obtener los datos del plano β, primero pasaremos a paramétricas la recta s:

     

     

     

    Si x = λ, (λ es un número real) y = –5 – 5λ, luego:

     

    z = –4 – 2λ –5 – 5λ = –9 – 7λ

     

     

     

    Datos obtenidos:

    Punto genérico del plano β: N(x, y, z)

    Punto perteneciente a la recta s: B(0, –5, –9)

    Punto por el que debe pasar la recta r: P(1, 0, –1)

    Vector director de la recta s: us = (1, –5, –7)

    Vector formado por los puntos B y P: BP = (1, 5, 8)

    Vector formado por los puntos B y N: BN = (x – 0, y +  5, z + 9)

    Ecuación del plano β (los tres vectores son coplanarios):

     

     

     

    La recta r es la intersección de los planos α y β, luego su ecuación es:

     

     

     

    También se puede hacer de la siguiente forma:

    Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas para lo cual se pasa a paramétricas la recta s (cosa que ya hemos hecho anteriormente).

     

     

     

    Si ambas rectas son paralelas sus vectores directores serán proporcionales.

    Vector director de t: ut = (1, 1, 1)

    Vector director de s: us = (1, –5, –7)

     

    (1/1) ≠ (–5/1) ≠ (–7/1)

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    Veamos si las soluciones halladas verifican la tercera ecuación:

     

     

     

    Luego el sistema es incompatible, por tanto ambas rectas no tienen ningún punto en común y como no son paralelas, se cruzan.

    Como ya se ha dicho, la recta r vendrá determinada por la intersección de los planos α y β que pasan por P y contienen a las rectas t y , respectivamente.

    Ecuación general del plano α.

    Primero pasaremos a general la ecuación de t:

     

     

     

    Haz de planos de arista t:

     

    x – y – 3 + k (y – z + 1) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista s y que pasa por el punto P.

     

    1 – 0 – 3 + k (0 + 1 +1) = 0 –2 + 2k = 0

     

    k = 2/2 = 1

     

     x – y – 3 + y – z + 1 = 0

     

    α x – z – 2 = 0

     

    Ecuación general del plano β.

    Haz de planos de arista s:

     

    3x + 2y – z + 1 + k’ (2x – y + z + 4) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista s y que pasa por el punto P.

     

    3·1 + 2·0 – (–1) + 1 + k’ (2·1 – 0 – 1 + 4) = 0

     

    3 + 1 + 1 + k’ (2 – 1 + 4) = 0 k’ = –5/5 = –1

     

    3x + 2y – z + 1 – 2x + y – z – 4 = 0

     

    β ≡ x + 3y – 2z – 3 = 0

     

    Ecuación general de la recta r:

     

     

     

     

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