Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Posición relativa de tres planos 05

    Posted on octubre 3rd, 2013 Miralles No comments

     

    Estudia según los valores de λ la posición relativa de los planos:

    α: x + y + λz = 0

     

    β: x + λy + z = 0

     

    γ: λx + y + λz = 0

     

     

    Solución:

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Vamos a estudiar el rango de la matriz de los coeficientes ya que el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a cuatro, por no tener suficientes filas y además todos sus elementos son iguales a cero.

     

     

     

    = 1 (λ2 – 1) – 1 (λλ) + λ (1 – λ2) =

     

    =  λ2 – 1 – 0 + λλ3 = –λ3 + λ2 + λ – 1

     

    El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera fila.

     

    λ3 + λ2 + λ – 1 = 0 λ3λ2λ + 1 = 0

     

    Para hallar las raíces utilizaremos el teorema de Ruffini:

     

     

     

    Si: λ  ±1, |A|  0, luego rg(A) = rg (A/B) = 3 = número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible determinado con una única solución, el punto donde se cortan los tres planos.

    Si λ = 1:

     

     

     

    El valor de cualquier menor perteneciente a este determinante siempre es igual a cero, ya que siempre tiene dos filas o dos columnas iguales, por tanto, como rg(A) = rg(A/B) = 1, los tres planos son el mismo.

    Si λ = –1:

     

     

        = –1 – 1 = –2  0 rg(A) = rg(A/B) = 2  

     

    Como rg(A) = rg(A/B) < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones que son los infinitos puntos de intersección de los tres planos. Luego  los planos se cortan en una recta.

     

     

     

     

     

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