Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Posición relativa de tres planos 04

    Posted on septiembre 30th, 2013 Miralles No comments

     

    Determina para qué valores de a y b los planos:

    α 2x – y + 3z – 1 = 0

     

    β x + 2y – z + b = 0

     

    γ x + ay – 6z + 10 = 0

    a)  Tienen un solo punto en común.

    b)  Pasan por una recta.

    c)  Se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas.

     

     

    Solución:

     

     

     

    a)  Para tener un único punto en común el sistema ha de ser compatible determinado.

    Matriz del sistema:

     

     

     

    Vamos a estudiar el rango de la matriz de los coeficientes ya que el rango de la matriz del sistema no puede ser igual a cuatro, por no tener suficientes filas.

     

     

     

    = 2 (–12 + a) – (–1) (–6 + 1) + 3 (a – 2) =

     

    = –24 + 2a – 5 + 3a – 6 = 5a – 35

     

    El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera columna.

     

    5a – 35 = 0 5a = 35 a = 35/5 = 7

     

    Si: a 7, |A| 0, luego rg(A) = rg(A/B) = 3 = número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible determinado.

    Los tres planos se cortan en un único punto para a 7 y para todo b (b es un número real).

    b)  En este caso el sistema ha de ser compatible indeterminado, luego: a = 7.

    Como existe un determinante de rango 2 diferente de cero e independiente del valor de a:

     

     

     

    eliminando la tercera columna de la matriz del sistema y orlando la cuarta tenemos:

     

     

     

    = 2 (–20 + 7b) – (–1) (–10 + b) + 1 (7 – 2) =

     

    = –40 + 14b – 10 + b + 5 = 15b – 45

     

    15b – 45 = 0 15b = 45 b = 3

     

    Si: a = 7 y b = 3, rg(A) = rg(A/B) = 2 < número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible indeterminado y los tres planos se cortan en una recta (los infinitos puntos que son soluciones del sistema).

    c)  Si a = 7 y b  3, rg(A) = 2 y rg(A/B) = 3. Por tanto el sistema es incompatible y los planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas, ya que los planos no son paralelos pues sus vectores característicos tampoco lo son, pues sus coordenadas no son proporcionales:

     

    ua = (2, –1, 3), ub = (1, 2, –1) y ug = (1, 7, –6)

     

     

     

     

     

     

     

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