Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Posición relativa de tres planos 03

    Posted on septiembre 26th, 2013 Miralles No comments

     

    Estudia las posiciones relativas de los tres planos siguientes, según los valores de a y b.

     

    α  4ax + 3y – az = 9

     

    β ax + 2z = –15

     

    γ 2ax + y + az = b – 8

     

     

    Solución:

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Vamos a estudiar el rango de la matriz de los coeficientes ya que el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a cuatro, por no tener suficientes filas.

     

     

     

    = 4a (0 – 2) – 3 (a2 – 4a) – a (a – 0) =

     

    = –8a – 3a2 + 12a – a2 = –4a2 + 4a 

     

    El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera fila.

    Veamos para qué valores de a  el determinante es igual a cero.

     

     

     

    Si: a  0 y a 1, para todo b (b es un número real), rg (A) = rg (A/B) = 3 = número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado con una única solución, el punto donde se cortan los tres planos.

    Si a = 0:

     

     

     

    = 3 (2b – 16 – 0) – 0 + 9 (0 – 2) =

     

    = 6b – 48 – 18 = 6b – 66 = 0

     

    6b = 66 b = 11

     

    Si: a = 0 y b = 11, rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones que son los infinitos puntos de intersección de los tres planos. Luego  los planos se cortan en una recta.

    Si a = 0 y b 11, rg (A) = 2 < rg (A/B) = 3. El sistema es incompatible carece de solución. Los planos α y γ son paralelos (vectores normales (0, 3, 0) y (0, 1, 0)) y β es perpendicular a ambos (vector normal (0, 0, 1)).

     

     

     

    Si a = 1:

     

     

     

    = 4 (0 + 15) – 3 (b – 8 + 30) + 9 (1 – 0) =

     

    = 60 – 3b – 66 + 9 = 3 – 3b = 0

     

    3b = 3 b = 1

     

    Si: a = 1 y b = 1, rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones que son los infinitos puntos de intersección de los tres planos. Luego  los planos se cortan en una recta.

    Si: a = 1 y b 1, rg (A) = 2 < rg (A/B) = 3. El sistema es incompatible carece de solución. Los planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas, ya que los planos no son paralelos pues sus vectores normales tampoco lo son ya que sus coordenadas no son proporcionales.

     

    u1 = (4, 3, –1), u2 = (1, 0, 2) y u3 = (2, 1, 1)

     

     

     

     

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