Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Posición relativa de tres planos 02

    Posted on septiembre 23rd, 2013 Miralles No comments

     

    Halla los valores del parámetro a para que los tres planos: x + y + az =1, ax + y + z = 1 y 2x + y + z = a, tengan una recta en común. Halla también el vector de dirección de dicha recta.

     

    Solución:

    Para que los tres planos se corten en una recta, el sistema formado por las ecuaciones de dichos planos debe ser compatible indeterminado (los infinitos puntos son las infinitas soluciones del sistema). Por tanto: rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas.

     

     

     

    Si a = 2:

     

     

     

    = 1 (2 – 1) – 1 (4 – 2) + 1 (2 – 2) = 1 – 2 + 0 = –1 ¹ 0 rg (A/B) = 3

     

    Como: rg (A/B) > rg (A) el sistema es incompatible, por tanto los planos no se cortan en una recta.

    Si a = 1:

     

     

     

    El anterior determinante es igual a 0 porque tiene dos columnas iguales, por tanto rg (A/B) = 2.

    Como: rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas (tres), el sistema es compatible simplemente indeterminado (un grado de libertad) y los tres planos se cortan en una recta.

    Los tres planos se cortan en la recta:

     

     

     

    Para hallar el vector director pasaremos a paramétricas la anterior recta:

     

     

     

     

     

     

    Leave a Reply