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Posición relativa de tres planos 01
Posted on septiembre 19th, 2013 No commentsDados los planos:
π1 ≡ x – 3y + 2z + 4 = 0
π2 ≡ 2x + y – 3z = –1
π3 ≡ x + ay + z = 0
estudia las posiciones relativas según los valores de a (a es un número real).
Solución:
POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS:
Los tres planos se encuentran expresados en forma general.
Sea S la matriz del sistema y S’ la matriz ampliada.
Si: rg (S) = rg (S’) = 3, el sistema es compatible determinado.
Los planos concurren en un mismo punto (forman un triedro).
Si: rg (S) = 2 y rg (S’) = 3, el sistema es incompatible.
Puede haber dos planos paralelos y otro que los corta, o puede tratarse de tres planos que se cortan dos a dos (forman un prisma triangular).
Si: rg (S) = rg (S’) = 2, el sistema es compatible simplemente indeterminado.
Los planos se cortan en infinitos puntos, o sea, en una recta.
Si: rg (S) = 1 y rg (S’) = 2, el sistema es incompatible.
Los tres planos son paralelos. Puede haber dos iguales.
Si: rg (S) = rg (S’) = 1, el sistema es compatible doblemente indeterminado.
Los tres planos coinciden (son el mismo).
Matriz ampliada:
Vamos a estudiar el rango de la matriz de los coeficientes ya que el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a cuatro, por no tener suficientes filas.
= 1 (1 + 3a) – (–3) (2 + 3) + 2 (2a – 1) =
= 1 + 3a + 15 + 4a – 2 = 7a + 14
El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera fila.
Veamos para qué valor de a el determinante es igual a cero.
7a + 14 = 0 → 7a = –14 → a = –14/7 = –2
Si: a ≠ –2, rg (S) = rg (S’) = 3 = número de incógnitas. Por tanto el sistema es compatible determinado con una única solución, el punto donde concurren los tres planos.
Si, a = –2:
= 1 (0 – 2) – (–3) (0 + 1) – 4 (–4 – 1) =
= –2 + 3 + 20 = 21 ¹ 0 → rg (S’) = 3
Si: a = –2, rg (S) = 2 y rg (S’) = 3, el sistema es incompatible y los planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas, ya que los planos no son paralelos pues sus vectores normales tampoco lo son pues sus coordenadas no son proporcionales:
u1 = (1, –3, 2), u2 = (2, 1, –3) y u3 = (1, –2, 1)
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