Posición relativa de tres planos 01

Dados los planos:

π₁ ≡ x – 3y + 2z + 4 = 0

π₂ ≡ 2x + y – 3z = –1

π₃ ≡ x + ay + z = 0

estudia las posiciones relativas según los valores de a (a es un número real).

Solución:

POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS:

Los tres planos se encuentran expresados en forma general.

Sea S la matriz del sistema y S’ la matriz ampliada.

Si: rg (S) = rg (S’) = 3, el sistema es compatible determinado.

Los planos concurren en un mismo punto (forman un triedro).

Si: rg (S) = 2 y rg (S’) = 3, el sistema es incompatible.

Puede haber dos planos paralelos y otro que los corta, o puede tratarse de tres planos que se cortan dos a dos (forman un prisma triangular).

Si: rg (S) = rg (S’) = 2, el sistema es compatible simplemente indeterminado.

Los planos se cortan en infinitos puntos, o sea, en una recta.

Si: rg (S) = 1 y rg (S’) = 2, el sistema es incompatible.

Los tres planos son paralelos. Puede haber dos iguales.

Si: rg (S) = rg (S’) = 1, el sistema es compatible doblemente indeterminado.

Los tres planos coinciden (son el mismo).

Matriz ampliada:

Vamos a estudiar el rango de la matriz de los coeficientes ya que el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a cuatro, por no tener suficientes filas.

= 1 (1 + 3a) – (–3) (2 + 3) + 2 (2a – 1) =

= 1 + 3a + 15 + 4a – 2 = 7a + 14

El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera fila.

Veamos para qué valor de a el determinante es igual a cero.

7a + 14 = 0 → 7a = –14 → a = –14/7 = –2

Si: a ≠ –2, rg (S) = rg (S’) = 3 = número de incógnitas. Por tanto el sistema es compatible determinado con una única solución, el punto donde concurren los tres planos.

Si, a = –2:

= 1 (0 – 2) – (–3) (0 + 1) – 4 (–4 – 1) =

= –2 + 3 + 20 = 21 ¹ 0 → rg (S’) = 3

Si: a = –2, rg (S) = 2 y rg (S’) = 3, el sistema es incompatible y los planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas, ya que los planos no son paralelos pues sus vectores normales tampoco lo son pues sus coordenadas no son proporcionales:

u₁ = (1, –3, 2), u₂ = (2, 1, –3) y u₃ = (1, –2, 1)