Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Haz de planos que pasan por una recta 02

    Posted on septiembre 5th, 2013 Miralles No comments

     

    De la familia de planos 3x + αy – z + β = 0, determina el que contiene a la recta:

     

     

     

    Solución:

    Primero pasaremos a paramétricas la ecuación de la recta.

     

     

     

    Cualquier punto de la recta pertenece al plano ya que la recta está contenida en él, por tanto:

     

    3 (1 – 2λ) + α (1 – 7λ) – 0 + β = 0

     

    3 – 6λ + α – 7αλβ = 0

     

    (–6 – 7α) λ + 3 + α + β = 0

     

    (–6 – 7α) λ = –3 – αβ

     

    λ = (3 + α + β)/(6 + 7α)

     

    Si:

     

     

     

    el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones y el plano contiene a la recta dada. Despejando a de la segunda ecuación, tenemos que:

     

    7α = –6 α = –6/7

     

    Ahora sustituiremos el valor de α en la primera ecuación:

     

    (–6/7) + β + 3 = 0 β = (6/7) – 3  β = –15/7

     

    Ecuación del plano buscado:

     

    3x – (6/7) y – z – (15/7) = 0

     

     

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