Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Posiciones relativas de dos planos 01

    Posted on agosto 26th, 2013 Miralles No comments

     

    Determina la posición relativa de los planos:

    α: 2x – 3y – z + 5 = 0    y   φ: –4x + 6y + 2z – 10 = 0

     

     

    Solución:

    Posición relativa de dos planos:

    Sean los planos:

    π: Ax + By + Cz + D = 0 y π’: A’x + B’y + C’z + D’ = 0

    y la matriz:

     

     

     

    Si S es la matriz del sistema y S’ es la matriz ampliada, tenemos que:

    Si: rg (S) = rg (S’) = 2, el sistema es compatible simplemente indeterminado. Los planos se cortan en una recta (los infinitos puntos de la recta son soluciones del sistema formado por las ecuaciones de los dos planos)

    Si: rg (S) = rg (S’) = 1, el sistema es compatible doblemente indeterminado. Los planos son coincidentes (son el mismo plano)

    Si: rg (S) < rg (S’), el sistema es incompatible. Los planos son paralelos (no tienen ningún punto en común)

     

     

     

    Se puede ver que la segunda fila es combinación lineal de la primera (F2 = –2F1). Luego cualquier menor de orden 2 será igual a cero. Por tanto: rg (S) = rg (S’) = 1. El sistema es compatible doblemente indeterminado. Los planos son coincidentes.

     

     

     

     

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