Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Posiciones relativas de una recta y un plano 06

    Posted on agosto 12th, 2013 Miralles No comments

     

    En qué punto de un espejo plano de ecuación: 3x + 2y + z = 24, ha de incidir un rayo de luz que parte del punto A (1, 2, 3) para que al reflejarse pase por el punto B (5, –6, 5).

     

     

    Solución:

    Datos: π ≡ 3x + 2y + z = 24; A (1, 2, 3); B (5, –6, 5)

     

     

     

    Para solucionar este problema se debe hallar el punto A’, simétrico de A con respecto al plano π. Después se halla la recta s, que pasa por A’ y por B. Por último se busca la intersección de s con el plano π y se encuentra el punto M que es la solución del problema.

     

     

     

    Para poder hallar A’ necesitamos conocer las coordenadas P, pues es el punto medio del segmento AA’.

    Como P es la intersección de la recta r, perpendicular a π y que pasa por A, debemos hallar la ecuación de dicha recta para lo que debemos tener en cuenta que el vector u es el vector normal o asociado al plano, por tanto:

     

     

     

    Sustituyendo los valores de x, y, z de r en el plano π, podremos hallar las coordenadas de P.

     

    3 (1 + 3λ) + 2 (2 + 2λ) + 3 + λ = 24

     

    3 + 9λ + 4 + 4λ + 3 + λ = 24 14λ = 14

     

    λ = 14/14 = 1

     

    Coordenadas del punto P:

     

    x = 1 + 3·1 = 4

     

    y = 2 + 2·1 = 4

     

    z = 3 + 1 = 4

     

    P (4, 4, 4)

     

    Coordenadas de A’:

     

    (1 + x’)/2 = 4 1 + x’ = 8 x’ = 7

     

    (2 + y’)/2 = 4 2 + y’ = 8 y’ = 6

     

    (3 + z’)/2 = 4 3 + z’ = 8 z’ = 5

     

    A’ (7, 6, 5)

     

     

     

    Ecuación de la recta s:

    Vector director:

     

     

    Las coordenadas del punto M se pueden averiguar hallando el punto de corte de la recta s y el plano π.

     

    3 (5 – 2μ) + 2 (–6 – 12μ) + 5 = 24

     

    15 – 6μ – 12 – 24μ + 5 = 24   –30μ = 16

     

    μ = –16/30 = –8/15

     

    Coordenadas de M:

      

    x = 5 – 2 (–8/15) = 5 + (16/15) = 91/15

     

    y = –6 – 12 (–8/15) = –6 + (96/15) = 6/15 = 2/5

     

    z = 5

     

    M (91/15, 2/5, 5)

     

     

     

     

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