Posiciones relativas de una recta y un plano 05

Sean el plano:

π ≡ y + z =3

y la recta:

Calcula los valores de m:

a)  Para que la recta corte al plano.

b)  Para que la recta esté contenida en el plano.

Solución:

Primero pasaremos a paramétricas la ecuación de la recta.

a)  Sustituyendo en el plano los de las incógnitas por los de la recta tendremos:

(–1 + mλ) + (1 – λ) = 3

–1 + mλ + 1 – λ = 3

λ(m – 1) = 3 → λ = 3/(m – 1)

Para que  la ecuación tenga solución el denominador ha de ser diferente de cero, por tanto:

m – 1 ≠ 0 → m ≠ 1

b)  Como el numerador de la fracción λ = 3/(m – 1) no puede ser cero para cualquier valor de m, el sistema no puede ser compatible indeterminado, luego el plano no contiene a la recta sea cual sea el valor de m.