Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Posiciones relativas de una recta y un plano 04

    Posted on agosto 5th, 2013 Miralles No comments

     

    Halla las posiciones relativas del plano:

     

    y la recta:

     

     

     

    según los valores de a y b (a y b son números reales)

     

     

    Solución:

    Pasemos a implícitas las ecuaciones del plano y de la recta.

    Para hallar la ecuación implícita del plano debemos eliminar los parámetros λ y µ.

     

     

     

    (z – 3) (1 + 1) = 0 2z – 6 = 0

     

    π ≡  z – 3 = 0

     

    Ecuación de la recta:

     

    (x – 1)/3 = (y + 2)/1 x – 1 = 3y + 6

     

    x – 3y – 7 = 0

     

    (x – 1)/3 = (z + b)/(a – 2) (x – 1) (a – 2) = 3z + 3b

     

    (a – 2) x – 3z – a + 2 = 3b ax – 2x – 3z – a + 2 = 3b

     

    (a – 2) x – 3z + (2 – a – 3b) = 0

     

     

     

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Vamos a estudiar el rango de la matriz de los coeficientes ya que el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a cuatro, por no tener suficientes filas.

     

     

     

    a = 6/3 =2

     

    Si a 2 rg (A) = 3.

    Si a = 2:

     

     

     

    –3b = 9 b = –3

     

    Si b = –3 rg (A/B) = –3, si b –3 rg (A/B) = 3.

    Conclusión:

    Si a = 2 y b = –3 rg (A) = rg (A/B) =2. El plano contiene a la recta.

    Si a = 2 y b –3 rg (A) = 2 < rg (A/B) = 3. El plano y la recta no tienen ningún punto en común, por tanto son paralelos.

    Si a 2 y para todo b (b es un número real) rg (A) = rg (A/B) = 3. La recta y el plano se cortan en un punto.

     

     

     

     

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