Posiciones relativas de una recta y un plano 03

Determina la posición relativa de la recta:

  y el plano:

Solución:

Primero pasaremos a paramétricas la ecuación de la recta y a general la ecuación del plano.

Para hallar la ecuación general del plano debemos eliminar los parámetros α y β.

x (1 – 6) – (–y + 2 – 3z + 3) + (2y – 4 + z – 1) = 0

–5x + y + 3z – 5 + 2y + z – 5 = 0

–5x + 3y + 4z – 10 = 0

π: 5x – 3y – 4z + 10 = 0

Sustituyendo las incógnitas del plano por las de la recta tendremos:

5 (1 + 2λ) – 3 (–3 – λ) – 4 (–4 – 3λ) + 10 = 0

5 + 10λ + 9 + 3λ + 16 + 12λ + 10 = 0

25λ + 40 = 0 → 25λ = –40 → λ = –40/25

λ = –8/5

El sistema es compatible determinado, por tanto la recta y el plano se cortan en un punto.

Coordenadas del punto de corte:

x = 1 + 2 (–8/5) = 1 – (16/5) = –11/5

y = –3 – (–8/5) = –3 + (8/5) = –7/5

z = –4 – 3 (–8/5) = –4 + (24/5) = 4/5