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Posiciones relativas de una recta y un plano 03
Posted on agosto 1st, 2013 No commentsDetermina la posición relativa de la recta:
Solución:
Primero pasaremos a paramétricas la ecuación de la recta y a general la ecuación del plano.
Para hallar la ecuación general del plano debemos eliminar los parámetros α y β.
x (1 – 6) – (–y + 2 – 3z + 3) + (2y – 4 + z – 1) = 0
–5x + y + 3z – 5 + 2y + z – 5 = 0
–5x + 3y + 4z – 10 = 0
π: 5x – 3y – 4z + 10 = 0
Sustituyendo las incógnitas del plano por las de la recta tendremos:
5 (1 + 2λ) – 3 (–3 – λ) – 4 (–4 – 3λ) + 10 = 0
5 + 10λ + 9 + 3λ + 16 + 12λ + 10 = 0
25λ + 40 = 0 → 25λ = –40 → λ = –40/25
λ = –8/5
El sistema es compatible determinado, por tanto la recta y el plano se cortan en un punto.
Coordenadas del punto de corte:
x = 1 + 2 (–8/5) = 1 – (16/5) = –11/5
y = –3 – (–8/5) = –3 + (8/5) = –7/5
z = –4 – 3 (–8/5) = –4 + (24/5) = 4/5
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