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Posiciones relativas de dos rectas 03
Posted on julio 11th, 2013 No commentsHallar a para que las rectas:
sean secantes, y en tal caso, hallar el plano que determinan.
Solución:
Condiciones que se deben cumplir para las diferentes posiciones que existen entre dos rectas en el espacio:
Sea S la matriz del sistema y S’ la matriz ampliada.
Si: rg(S) = rg(S’) = 2, el sistema es compatible simplemente indeterminado.
Las rectas son iguales.
Si: rg(S) = 2 y rg(S’) = 3, el sistema es incompatible (carece de solución).
Las rectas son paralelas disjuntas.
Si: rg(S) = rg(S’) = 3, el sistema compatible determinado.
Las rectas se cortan en un punto.
Si: rg(S) = 3 y rg(S’) = 4, el sistema es incompatible.
Las rectas se cruzan.
Si: a = –11, rg(S’) ≤ 3.
Veamos si existe un menor de orden 3:
Por tanto si: a = –11, rg(S) = rg(S’) = 3. Las rectas se cortan en un punto.
Para hallar la ecuación del plano que ambas rectas determinan debemos tener un punto y dos vectores directores, para lo cual pondremos en forma paramétrica r y s.
Pongamos en paramétricas a s:
Ecuación paramétrica del plano determinado por r y s:
Eliminado los parámetros se obtiene la ecuación general de π:
(x – 1) (–6 + 2) – (y + 5) (4 – 8) + (z +1) (–2 + 12) =
= –4 (x – 1) + 4 (y + 5) + 10 (z + 1) =
= –2 (x – 1) + 2 (y + 5) + 5 (z + 1) =
= –2x + 2 + 2y + 10 + 5z + 5 = 0
π ≡ 2x – 2y – 5z – 17 = 0
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