Posiciones relativas de dos rectas 03

Hallar a para que las rectas:

sean secantes, y en tal caso, hallar el plano que determinan.

Solución:

Condiciones que se deben cumplir para las diferentes posiciones que existen entre dos rectas en el espacio:

Sea S la matriz del sistema y S’ la matriz ampliada.

Si: rg(S) = rg(S’) = 2, el sistema es compatible simplemente indeterminado.

Las rectas son iguales.

Si: rg(S) = 2 y rg(S’) = 3, el sistema es incompatible (carece de solución).

Las rectas son paralelas disjuntas.

Si: rg(S) = rg(S’) = 3, el sistema compatible determinado.

Las rectas se cortan en un punto.

Si: rg(S) = 3 y rg(S’) = 4, el sistema es incompatible.

Las rectas se cruzan.

Si: a = –11, rg(S’) ≤ 3.

Veamos si existe un menor de orden 3:

Por tanto si: a = –11, rg(S) = rg(S’) = 3. Las rectas se cortan en un punto.

Para hallar la ecuación del plano que ambas rectas determinan debemos tener un punto y dos vectores directores, para lo cual pondremos en forma paramétrica r y s.

Pongamos en paramétricas a s:

Ecuación paramétrica del plano determinado por r y s:

Eliminado los parámetros se obtiene la ecuación general de π:

(x – 1) (–6 + 2) – (y + 5) (4 – 8) + (z +1) (–2 + 12) =

= –4 (x – 1) + 4 (y + 5) + 10 (z + 1) =

= –2 (x – 1) + 2 (y + 5) + 5 (z + 1) =

= –2x + 2 + 2y + 10 + 5z + 5 = 0

π ≡ 2x – 2y – 5z – 17 = 0