Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Intersección de recta y plano 02

    Posted on julio 1st, 2013 Miralles No comments

     

    Dado el plano π ≡ y + z = 3 y la recta variable r x – 3 = (y +1)/m = 1 – z, calcula los valores de m para que:

    a)  r corte al plano π.

    b)  El ángulo que forma el plano y la recta sea igual a 30º.

     

     

    Solución:

    a)  Ecuación paramétrica de la recta r:

     

     

     

    Un punto genérico de r es: (3 + λ, –1 + mλ, 1 – λ) y si pertenece a π se debe cumplir que:

     

    –1 + mλ + 1 – λ = 3

     

    mλλ = 3  λ (m – 1) = 3 λ = 3/(m – 1) 1

     

    Por tanto m puede ser cualquier número real excepto 1.

    b)    

     

     

     

    Producto escalar de los vectores normal del plano y director de la recta:

     

     

     

    α = 90º – 30º = 60º

     

    Vector normal del plano:

     

     

     

    Vector director de la recta:

     

     

     

    4 (m – 1)2 = 2 (2 + m2)

     

    2 (m – 1)2 = 2 + m2

     

    2 (m2 – 2m + 1) = 2 + m2

     

    2m2 – 4m + 2 = 2 + m2

     

    m2 – 4m = 0 m (m – 4) = 0

     

    Primer solución: m = 0

    Segunda solución: m – 4 = 0 m = 4

     

     

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