Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Plano y recta paralelos 03

    Posted on junio 10th, 2013 Miralles No comments

     

    Dada la recta:

     

    y el plano π ≡ 3x – my + z = 1 se pide:

     

    a)  Determina m para que la recta y el plano sean paralelos.

    b)  ¿Existe algún valor de m para el cual, la recta r, está contenida en el plano π? Razona la respuesta.

     

     

    Solución:

    a)     

     

     

     

    Para que r y π sean paralelos se ha de cumplir que el producto escalar del vector director de la recta y el vector normal del plano sea igual a cero, ya que ambos vectores han de ser perpendiculares.

    Vector director de r:

     

     

     

    Vector normal de π:

     

     

     

    Producto vectorial:

     

     

     

    6 – 3m – 1 = 0 –3m = –5 m = 5/3

     

    b)  Del resultado del apartado anterior deducimos que si m = 5/3 el plano y la recta son paralelos, pero si m ≠ 5/3 se cortan. Por tanto para que ambos sean coincidentes, primero se ha de cumplir que m = 5/3 y después que la recta pertenezca al plano. Si así fuera el punto (1, –1, –2) de r también lo sería de π. Veamos si es cierto:

     

    3·1 – (5/3)·(–1) – 2 – 1 = 0

     

    3 + (5/3) – 3 = 5/3 ≠ 0

     

    Por consiguiente el punto no pertenece a la recta y ésta y el plano son paralelos no coincidentes.

    De todo lo anterior podemos concluir que no existe un valor de m que haga que r y π sean coincidentes.

     

     

     

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