Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas paralelas 02

    Posted on mayo 20th, 2013 Miralles No comments

     

    Halla a y b para que las rectas siguientes sean paralelas:

     

     

     

     

    Solución:

    Pasemos a implícitas las ecuaciones de la recta s.

     

     

     

    Si los rangos de la matriz de los coeficientes, (A), y de la matriz ampliada, (A/B), son iguales a 2, las rectas son iguales.

    Si el rango de la matriz (A) es 2 y la de la matriz (A/B) es 3, las rectas son paralelas disjuntas.

     

     

     

    Si a = 1 y b = –2 rg (A) = 2, ya que existe un menor de orden 2 diferente de cero:

     

     

     

    Estudiemos el rango de la matriz ampliada para a = 1 y b = –2.

     

     

     

    El valor del último determinante es cero ya que tiene dos filas iguales.

    Por tanto:

     

     

     

    Luego:

    Si a = 1 y b = –2 rg (A) = 2 y rg (A/B) = 3, luego las rectas son paralelas disjuntas.

    También se puede hacer de la siguiente forma:

     

     

     

    Como las rectas han de ser paralelas, el vector director de s y los vectores característicos de los planos que engendran la recta r, han de ser perpendiculares, luego sus productos escalares han de ser igual a cero.

     

    (1, 2, 4)·(2, a, –1) = 0

     

    2 + 2a – 4 = 0 2a = 2 a =1

     

    (1, 2, 4)·(2, 3, b) = 0

     

    2 + 6 + 4b = 0 4b = –8 b = –2

     

     

     

     

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