Rectas paralelas 02

Halla a y b para que las rectas siguientes sean paralelas:

Solución:

Pasemos a implícitas las ecuaciones de la recta s.

Si los rangos de la matriz de los coeficientes, (A), y de la matriz ampliada, (A/B), son iguales a 2, las rectas son iguales.

Si el rango de la matriz (A) es 2 y la de la matriz (A/B) es 3, las rectas son paralelas disjuntas.

Si a = 1 y b = –2 → rg (A) = 2, ya que existe un menor de orden 2 diferente de cero:

Estudiemos el rango de la matriz ampliada para a = 1 y b = –2.

El valor del último determinante es cero ya que tiene dos filas iguales.

Por tanto:

Luego:

Si a = 1 y b = –2 → rg (A) = 2 y rg (A/B) = 3, luego las rectas son paralelas disjuntas.

También se puede hacer de la siguiente forma:

Como las rectas han de ser paralelas, el vector director de s y los vectores característicos de los planos que engendran la recta r, han de ser perpendiculares, luego sus productos escalares han de ser igual a cero.

(1, 2, 4)·(2, a, –1) = 0

2 + 2a – 4 = 0 → 2a = 2 → a =1

(1, 2, 4)·(2, 3, b) = 0

2 + 6 + 4b = 0 → 4b = –8 → b = –2