Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ecuaciones del plano 05

    Posted on mayo 6th, 2013 Miralles No comments

     

    Halla la ecuación del plano, en forma implícita, que contenga a la recta:

     

     

    y sea paralelo al eje OX.

     

     

    Solución:

    Para hallar la ecuación de un plano necesitamos conocer, como mínimo, un punto y dos vectores directores del plano.

    Sea π el plano buscado. Por contener a la recta r el punto A(0, –1, 3) pertenece al plano y el vector u = (2, 1, –1) es un vector director de π.

    Por ser paralelo a al eje OX el vector v = (1, 0, 0) también es un vector del plano π.

    Ecuaciones paramétricas de π:

     

     

     

    Si queremos pasar a forma implícita debemos eliminar los parámetros α y β:

     

     

     

    También se puede hacer de la siguiente forma:

    Haz de planos de arista r:

    Primero pasaremos a implícitas las ecuaciones de la recta r.

     

     

     

    Haz de planos de arista r:

     

    x – 2y – 2 + α·(x + 2z – 6) = 0

     

    x – 2y – 2 + αx + 2αz – 6α = 0

     

    (1 + α) x – 2y + 2αz – (2 + 6α) = 0

     

    Haz de planos que contienen a OX:

     

    μx = 0

     

    Para que los planos sean paralelos los vectores [(1 + α), –2, 2α] y (μ, 0, 0) tienen que ser linealmente dependientes, por tanto:

     

     

     

    Sustituyendo en la ecuación obtenida en el haz de planos de arista r:

     

     (1 – 1) x – 2y + 2·(–1)z – [2 + 6·(–1)] = 0

     

    –2y – 2z + 4 = 0

     

    π: y + z – 2 = 0

     

     

     

     

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