Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Dependencia e independencia lineal de vectores 06

    Posted on enero 31st, 2013 Miralles No comments

     

    Dados los vectores u1 = (1, 1, 1, 0), u2 = (0, 1, –1, 1) y u3 = (1, 1, 0, 0) de Â4, se pide:

    a)  Determinar si son linealmente dependientes o linealmente independientes.

     

    b)  Dar un vector v ≠ 0 de modo que el conjunto {u1, u2, u3, v} sea ligado (es decir linealmente dependiente).

    c)  Dar un vector w de modo que {u1, u2, u3, w} sea libre.

    d)  Expresar el vector x = (1, 2, 4, 3) como combinación lineal de u1, u2, u3 y w.

     

     

    Solución:

    Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

    a)              

     

     

     

    Los vectores dados son linealmente independientes.

    b)  Sea v = (x, y, z, t):

     

    α·u1 + β·u2 + γ·u3 = v

     

    (1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ = (x, y, z, t)

     

    (αα, α, 0) + (0, β, –β, β) + (γ, γ, 0, 0) = (x, y, z, t)

     

    (α + 0 + γαβγα – β + 0, 0 + b + 0) = (x, y, z, t)

     

     

     

    v = (5, 6, 1, 1)

     

    c)  Sea w = (x, y, z, t)

     

    α·u1 + β·u2 + γ·u3λ·w = 0

     

    (1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ + (x, y, z, t) λ = (0, 0, 0, 0)

     

    (αα, α, 0) + (0, β, –ββ) + (γ, γ, 0, 0) + (λ·x, λ·y,λ·z, λ·t) = (0, 0, 0, 0)

     

    (α + 0 + γλ·x, αβ + γλ·y, αβ + 0 + λ·z, 0 + β + 0 +λl·t) = (0, 0, 0, 0)

     

     

     

    Los vectores u1, u2, u3 y w son linealmente independientes, si: t – y + x ≠ 0. Si, por ejemplo: x = 2, y = 3 y t = 0 (z puede tomar cualquier valor, por ejemplo, z = –1):

     

    w = (2, 3, –1, 0)

     d)     

     

    α·u1 + β·u2 + γ·u3λ·w = x

     

    (1, 1, 1, 0) α + (0, 1, –1, 1) β + (1, 1, 0, 0) γ + (2, 3, –1, 0) λ = (1, 2, 4, 3)

     

    (α, α, α, 0) + (0, β, –β, β) + (γ, γ, 0, 0) + (2λ, 3λ, λl, 0) = (1, 2, 4, 3)

     

    (α + 0 + γ + 2λαβγ + 3λα – β + 0 – λ, 0 + β + 0 + 0) = (1, 2, 4, 3)

     

     

     

     

    λ = –2 → γ = –4 – 2·(–2) = 0 → β = 3 → α = 1 + 4 = 5

     

     (1, 1, 1, 0)·5 + (0, 1, –1, 1)·3 + (1, 1, 0, 0)·0 – (2, 3, –1, 0) 2 = (1, 2, 4, 3)

     

     

    Leave a Reply