Dependencia e independencia lineal de vectores 05

Dados los vectores v = (1, 2, 3) y w = (1, –1, 1):

a)  ¿Son v y w linealmente independientes?

b)  Escribir un vector u, tal que los vectores u, v y w sean linealmente independientes.

c)  Escribir otro vector m, tal que los vectores m, v y w sean linealmente dependientes.

Solución:

a)  Si para que se cumpla la ecuación: a·v + b·w = 0, obliga a que los escalares a y b sean iguales a cero, los vectores son linealmente independientes. En caso contrario serán linealmente dependientes.

(1, 2, 3) α + (1, –1, 1) β = (0, 0, 0)

(α, 2α, 3α) + (β,–β, β) = (0, 0, 0)

(α + β, 2α – β, 3α + β) = (0, 0, 0)

El sistema es compatible determinado.

El sistema es homogéneo, por tanto, la única solución que tiene es la trivial, o sea,  α = β = 0, luego los vectores son linealmente independientes.

b)  Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

Para que todos lo elementos de la última fila sean ceros, se ha de cumplir que:

Si, por ejemplo, x = 2 e y =1:

luego: z ≠ 4 y una solución para que los vectores dados sean linealmente independiente puede ser: u = (2, 1 5)

c)  Según el apartado anterior: m = (2, 1, 4)