Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Dependencia e independencia lineal de vectores 05

    Posted on enero 28th, 2013 Miralles No comments

     

    Dados los vectores v = (1, 2, 3) y w = (1, –1, 1):

    a)  ¿Son v y w linealmente independientes?

     

    b)  Escribir un vector u, tal que los vectores u, v y w sean linealmente independientes.

    c)  Escribir otro vector m, tal que los vectores m, v y w sean linealmente dependientes.

     

     

    Solución:

    a)  Si para que se cumpla la ecuación: a·v + b·w = 0, obliga a que los escalares a y b sean iguales a cero, los vectores son linealmente independientes. En caso contrario serán linealmente dependientes.

     

    (1, 2, 3) α + (1, –1, 1) β = (0, 0, 0)

     

    (α, 2α, 3α) + (β,–β, β) = (0, 0, 0)

     

    (α + β, 2α – β, 3αβ) = (0, 0, 0)

     

     

     

    El sistema es compatible determinado.

    El sistema es homogéneo, por tanto, la única solución que tiene es la trivial, o sea,  αβ = 0, luego los vectores son linealmente independientes.

    b)  Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

     

     

     

    Para que todos lo elementos de la última fila sean ceros, se ha de cumplir que:

     

     

     

    Si, por ejemplo, x = 2 e y =1:

     

     

     

    luego: z ≠ 4 y una solución para que los vectores dados sean linealmente independiente puede ser: u = (2, 1 5)

     

    c)  Según el apartado anterior: m = (2, 1, 4)

     

     

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