Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Dependencia e independencia lineal de vectores 04

    Posted on enero 24th, 2013 Miralles No comments

     

    Calcula x  e y para que los vectores de Â4 siguientes sean linealmente independientes:

    u1 = (5, x, –4, –3), u2 = (1, 0, x, 1) y u3 = (–1, y, –1, 3)   

     

     

    Solución:

    Para estudiar la dependencia lineal podemos emplear el método de Gauss a dichos vectores, pues aquellas filas que sean distintas del vector 0, al obtener la forma escalonada, corresponden a vectores linealmente independientes.

     

    (5, x, –4, –3) α + (1, 0, x, 1) β + (–1, y, –1, 3) γ = (0, 0, 0, 0)

     

     

     

    Si: x = –2 e y = 1 el sistema es compatible indeterminado. Los vectores son linealmente dependientes (los elementos de las dos últimas filas serían ceros).

    Si: x = –2 e y ≠ 1 el sistema es compatible determinado, teniendo como solución la trivial (a = b = g = 0), luego los vectores son linealmente independientes (los elementos de la última fila serían ceros).

    Si: x ≠ –2 y " y Î Â el sistema es compatible determinado, luego los vectores son linealmente independientes (ninguna de las filas tiene todos sus elementos igual a cero)

    Conclusión:

    Los vectores u1, u2 y u3 son linealmente independientes para cualquier valor de x e y, excepto para x = –2 e y = 1.

     

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