Dependencia e independencia lineal de vectores 01

Estudia la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:

a)     (2, 1, 0) y (1, 0, 1)

b)     (1,  –2, –1), (–3, 0, 2) y (0, –6, –1)

Solución:

a)   Si para que se cumpla la ecuación (2, 1, 0) a + (1, 0, 1) b = (0, 0, 0) obliga a que los escalares, a y b, sean iguales a cero los vectores son linealmente independientes. En caso contrario serán linealmente dependientes.

(2, 1, 0) a + (1, 0, 1) b = (0, 0, 0)

(2a, a, 0) + (b, 0, b) = (0, 0, 0)

(2a + b, a + 0, 0 + b) = (0, 0, 0)

El sistema es compatible determinado.

Los vectores son linealmente independientes.

También se puede hacer mediante matrices.

Ninguna de las filas tiene todos sus elementos iguales a cero, luego son linealmente independientes y, por tanto, también lo son los vectores dados.

 b)  Si para que se cumpla que: (1,  –2, –1) a + (–3, 0, 2) b + (0, –6, –1) g = (0, 0, 0) obliga a que los escalares, a, b y g, sean iguales a cero los vectores son linealmente independientes. En caso contrario serán linealmente dependientes.

(1,  –2, –1) a + (–3, 0, 2) b + (0, –6, –1) g = (0, 0, 0)

(a,  –2a, –a) + (–3b, 0, 2b) + (0, –6g, –g) = (0, 0, 0)

(a – 3b + 0, –2a + 0 – 6g, –a + 2b – g) = (0, 0, 0)

El sistema es compatible indeterminado, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

O bien, porque:

(1,  –2, –1)·3 + (–3, 0, 2) = (0, –6, –1)

También se puede hacer mediante matrices.

La última fila tiene todos sus elementos iguales a cero luego es combinación lineal de precedentes, por tanto los vectores dados son linealmente dependientes.