Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Dependencia e independencia lineal de vectores 01

    Posted on enero 10th, 2013 Miralles No comments

     

    Estudia la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:

    a)     (2, 1, 0) y (1, 0, 1)

    b)     (1,  –2, –1), (–3, 0, 2) y (0, –6, –1)

     

     

    Solución:

    a)   Si para que se cumpla la ecuación (2, 1, 0) a + (1, 0, 1) b = (0, 0, 0) obliga a que los escalares, a y b, sean iguales a cero los vectores son linealmente independientes. En caso contrario serán linealmente dependientes.

     

    (2, 1, 0) a + (1, 0, 1) b = (0, 0, 0)

     

    (2a, a, 0) + (b, 0, b) = (0, 0, 0)

     

    (2a + b, a + 0, 0 + b) = (0, 0, 0)

     

     

     

    El sistema es compatible determinado.

    Los vectores son linealmente independientes.

    También se puede hacer mediante matrices.

     

     

     

    Ninguna de las filas tiene todos sus elementos iguales a cero, luego son linealmente independientes y, por tanto, también lo son los vectores dados.

     b)  Si para que se cumpla que: (1,  –2, –1) a + (–3, 0, 2) b + (0, –6, –1) g = (0, 0, 0) obliga a que los escalares, a, b y g, sean iguales a cero los vectores son linealmente independientes. En caso contrario serán linealmente dependientes.

     

    (1,  –2, –1) a + (–3, 0, 2) b + (0, –6, –1) g = (0, 0, 0)

     

    (a,  –2a, –a) + (–3b, 0, 2b) + (0, –6g, –g) = (0, 0, 0)

     

    (a – 3b + 0, –2a + 0 – 6g, –a + 2bg) = (0, 0, 0)

     

     

     

    El sistema es compatible indeterminado, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

    O bien, porque:

     

    (1,  –2, –1)·3 + (–3, 0, 2) = (0, –6, –1)

     

    También se puede hacer mediante matrices.

     

     

     

    La última fila tiene todos sus elementos iguales a cero luego es combinación lineal de precedentes, por tanto los vectores dados son linealmente dependientes.

     

     

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