Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio y resolución de sistemas homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché 03

    Posted on noviembre 22nd, 2012 Miralles No comments

     

    Discute el sistema, según los valores del parámetro, y resuelve por la regla de Cramer:

     

     

     

    Solución:

    Este sistema es homogéneo (los términos independientes son ceros), luego siempre tiene solución, la trivial, x = y = z = 0. Para que tenga otras soluciones el sistema debe ser compatible indeterminado, luego el determinante de los coeficientes ha de ser igual a cero.

     

     

     

    El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera fila.

     

    2k + 12 + 42 + 2 + 5k = 0

     

    7k + 56 = 0 7k = –56 k = –56/7 = –8   

     

    Si k = –8, el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones.

    Si k ≠ –8, el sistema es compatible determinado y solamente tiene una solución que es la trivial.

    Para k = –8, ya hemos visto que el determinante era igual a cero, por lo tanto la última fila es combinación lineal de las otra dos, pero veamos si existe algún menor de orden dos diferente de cero.

     

     

     

    Como el rango de la matriz ampliada es igual a 2 y el número de incógnitas es 3, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

     

     

     

    Resolviendo por Cramer:

     

     

     

    Si hacemos: z = 19l, con l Î Â, tenemos:

     

    x = l, y = 7l, z = 19l

     

     

     

     

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