Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio y resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché y regla de Cramer 05 (2ª parte)

    Posted on septiembre 27th, 2012 Miralles No comments

     

    Ahora estudiaremos el rango de la matriz ampliada:

     

     

    por tener dos columnas (o filas) iguales.

     

     

     

    Si d = 0, rg (A/B) = 1. Si d ≠ 0, rg (A/B) = 2.

    Por tanto: 

    Si c = 1 y d = 0, rg (A) = rg (A/B) = 1 < número de incógnitas = 3. El sistema es compatible indeterminado (dos grados de libertad)

    Si c = 1 y d ≠ 0, rg (A) = 1 < 2 = rg (A/B). El sistema es incompatible.

    Si c = –1, tenemos que:

     

     

     

    Luego:

    Si c = –1 y d = 0, rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas = 3. El sistema es compatible indeterminado (un grado de libertad)

    Si c = –1 y d ≠ 0, rg (A) = 2 < 3 = rg (A/B). El sistema es incompatible.

    Resolución:

    Para c ≠ ±1, " d Î Â:

     

     

     

    Como para c = 1 y d = 0 el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad, se pueden eliminar las dos últimas ecuaciones y el sistema queda con una única ecuación cuya solución es:

     

     

     

    Para c = –1 y d = 0 el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, luego podemos eliminar la última ecuación y el sistema queda de la siguiente manera:

     

     

     

     

     

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