Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio y resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché y regla de Cramer 04

    Posted on septiembre 20th, 2012 Miralles No comments

     

    Aplicando el teorema de Rouché, halla m para que el sistema:

     

     

    a)   Sea compatible.

    b)   Resolverlo.

     

     

    Solución:

    a)   Matriz de los coeficientes:

     

     

     

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Primero estudiaremos el rango de la matriz del sistema según el valor de m.

     

     

     

    El determinante se ha desarrollado por los adjuntos de la primera fila.

    Veamos para qué valores de m el determinante es igual a cero.

     

     

     

    –m3 + 18 m – 35 = (m + 5)·(–m + 5 m – 7) = 0

     

    Primera solución:

     

    m + 5 = 0 → m = –5

     

    Segunda solución:

     

     

     

    Si m ≠ –5, rg (A/B) = 3 y como el rango de la matriz de los coeficientes no puede ser mayor de 2 (la matriz no tiene suficientes columnas para ser de orden 3), el sistema es incompatible.

    Si m = –5:

     

     

     

    rg (A) = rg (A/B) = 2 = número de incógnitas.

     

    El sistema es compatible determinado.

    b)   Si m = –5, el sistema queda de la siguiente forma:

     

    –5 x + 3 y = 2

     

    3 x + 2 y = –5

     

    Resolviendo por Cramer:

     

     

     

     

     

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