Estudio y resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché y regla de Cramer 03 (1ª parte)

Sea el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro t:

Estudiar según los valores del parámetro t y resolver en los casos que proceda.

Solución:

Matriz ampliada:

Estudiemos para qué valores del parámetro t se obtiene el mayor rango de la matriz de los coeficientes (A).

Veamos para que valores de t, el determinante es igual a cero.

Si t = 0, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2.

Matriz ampliada:

Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:

Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.

Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.

ya que la primera fila tiene todos sus términos iguales a cero.

Por tanto: rg (A) = rg (A/B) = 2 < 3 = número de incógnitas

El sistema es compatible indeterminado (un grado de libertad).

El sistema dado es equivalente a:

2x +y – z = –2

–x + 3z = 20

Si z = l Î Â:

–x + 3l = 20 → x = 3l – 20

2 (3l – 20) + y – l = –2

  6l – 40 + y – l = –2

y = –5l + 38

Para t = 0, las soluciones del sistema son:

x = 3l – 20; y = –5l + 38; z = l

Si t =1, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2.

Matriz ampliada:

Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:

Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.

Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.

Por tanto, rg (A/B) = 3, luego, rg (A) < rg (A/B).

El sistema es incompatible y carece de solución.

Si t =2, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2. 

Matriz ampliada:

Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:

Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.

Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.

Por tanto, rg (A/B) = 3, luego, rg (A) < rg (A/B).

El sistema es incompatible y carece de solución.

Si t Î Â – {0, 1 2} entonces rg (A) = rg (A/B) = 3 = número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible determinado (El rango de la matriz ampliada no puede ser mayor de 3 porque no hay suficientes filas para obtener un menor de orden 4)