Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio y resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché y regla de Cramer 03 (1ª parte)

    Posted on septiembre 13th, 2012 Miralles No comments

     

    Sea el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro t:

     

     

    Estudiar según los valores del parámetro t y resolver en los casos que proceda.

     

     

    Solución:

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Estudiemos para qué valores del parámetro t se obtiene el mayor rango de la matriz de los coeficientes (A).

     

     

     

    Veamos para que valores de t, el determinante es igual a cero.

     

     

     

    Si t = 0, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2.

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:

     

     

     

    Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.

    Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.

     

     

     

    ya que la primera fila tiene todos sus términos iguales a cero.

    Por tanto: rg (A) = rg (A/B) = 2 < 3 = número de incógnitas

    El sistema es compatible indeterminado (un grado de libertad).

    El sistema dado es equivalente a:

     

    2x +y – z = –2

     

    –x + 3z = 20

     

    Si z = l Î Â:

     

    –x + 3l = 20 x = 3l – 20

     

    2 (3l – 20) + y – l = –2

     

      6l – 40 + y – l = –2

     

    y = –5l + 38

     

    Para t = 0, las soluciones del sistema son:

     

    x = 3l – 20; y = –5l + 38; z = l

     

    Si t =1, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2.

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:

     

     

     

    Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.

    Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.

     

     

     

    Por tanto, rg (A/B) = 3, luego, rg (A) < rg (A/B).

    El sistema es incompatible y carece de solución.

    Si t =2, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2. 

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:

     

     

     

    Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.

    Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.

     

     

     

    Por tanto, rg (A/B) = 3, luego, rg (A) < rg (A/B).

    El sistema es incompatible y carece de solución.

    Si t Î Â{0, 1 2} entonces rg (A) = rg (A/B) = 3 = número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible determinado (El rango de la matriz ampliada no puede ser mayor de 3 porque no hay suficientes filas para obtener un menor de orden 4)

     

     

     

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