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Estudio y resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché y regla de Cramer 03 (1ª parte)
Posted on septiembre 13th, 2012 No commentsSea el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro t:
Estudiar según los valores del parámetro t y resolver en los casos que proceda.
Solución:
Matriz ampliada:
Estudiemos para qué valores del parámetro t se obtiene el mayor rango de la matriz de los coeficientes (A).
Veamos para que valores de t, el determinante es igual a cero.
Si t = 0, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2.
Matriz ampliada:
Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:
Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.
Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.
ya que la primera fila tiene todos sus términos iguales a cero.
Por tanto: rg (A) = rg (A/B) = 2 < 3 = número de incógnitas
El sistema es compatible indeterminado (un grado de libertad).
El sistema dado es equivalente a:
2x +y – z = –2
–x + 3z = 20
Si z = l Î Â:
–x + 3l = 20 → x = 3l – 20
2 (3l – 20) + y – l = –2
6l – 40 + y – l = –2
y = –5l + 38
Para t = 0, las soluciones del sistema son:
x = 3l – 20; y = –5l + 38; z = l
Si t =1, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2.
Matriz ampliada:
Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:
Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.
Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.
Por tanto, rg (A/B) = 3, luego, rg (A) < rg (A/B).
El sistema es incompatible y carece de solución.
Si t =2, el rango de la matriz de los coeficientes es como máximo 2.
Matriz ampliada:
Busquemos el mayor menor diferente de cero, por ejemplo:
Por lo tanto el rango de la matriz de los coeficientes es 2.
Ahora estudiemos si el rango de la matriz ampliada puede ser igual a 3.
Por tanto, rg (A/B) = 3, luego, rg (A) < rg (A/B).
El sistema es incompatible y carece de solución.
Si t Î Â – {0, 1 2} entonces rg (A) = rg (A/B) = 3 = número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible determinado (El rango de la matriz ampliada no puede ser mayor de 3 porque no hay suficientes filas para obtener un menor de orden 4)
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