Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Estudio y resolución de sistemas no homogéneos por determinantes. Teorema de Rouché y regla de Cramer 01

    Posted on septiembre 6th, 2012 Miralles No comments

     

    Sea el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro m.

     

     

    Estudiarlo por Rouché según los valores del parámetro m, y resolverlo por Cramer en los casos que proceda.

     

     

    Solución:

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Estudiemos para qué valores del parámetro m se obtiene el mayor rango de la matriz ampliada.

     

     

     

    Veamos para qué valores de m, el determinante es igual a cero.

    Aplicando la regla de Ruffini:

     

     

     

    Si m ≠ –1 y m ≠ –7 el rango de la matriz ampliada es 4 y como el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 3 como máximo, el sistema es incompatible y carece de solución.

    Estudiemos el rango de la matriz de los coeficientes para m ≠ –1.

    Matriz de los coeficientes:

     

     

     

    Como todas las filas son iguales, cualquier menor que escojamos será igual a cero, luego el único menor diferente de cero es │1│, y el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 1.

    Veamos el rango de la matriz ampliada:

     

     

     

    Como el rango de la matriz ampliada es mayor que el rango de la matriz de los coeficientes, el sistema es incompatible.

    Estudiemos el rango de la matriz de los coeficientes para m ≠ –7.

    Matriz de los coeficientes:

     

     

     rg (A) = rg (A/B) = 3 = número de incógnitas

     

    En este caso el sistema es compatible determinado, por tanto tiene una única solución.

    Aplicando la regla de Cramer.

     

     

     

     

    Leave a Reply