Estudio de sistemas no homogéneos. Teorema de Rouché 03

Dado el sistema:

Halla m para que:

a)   No tenga solución.

b)   Tenga infinitas soluciones.

c)   Tenga solución única.

d)   Tenga una única solución en la que x = 3.

Solución:

Matriz ampliada:

Estudiemos el rango de la matriz de los coeficientes:

Si m = 1:

Car (A) = Car (A/B) = 1 < número de incógnitas

Si m = –1:

 Car (A) = 1 y Car (A/B) = 2

a)   Si m = –1 el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución, ya que el rango o característica de la matriz ampliada es mayor que la característica de la matriz del sistema.

b)   Si m = 1 el sistema es compatible simplemente indeterminado, o sea, tienen infinitas soluciones, pues la característica o rango de la matriz ampliada es igual al de la matriz del sistema,  pero es menor que el número de incógnitas. 

c)   Si m ≠ 1 y m ≠ –1 se cumple que Car (A) = Car (A/B) = 2 = nº de incógnitas y el sistema es compatible determinado por lo que tiene una única solución.

d)   Sustituyendo x = 3 en ambas ecuaciones tenemos el siguiente sistema:

Para que el sistema tenga una única solución con x = 3, m ha de ser igual –4/3, pues si m = 1, el sistema tiene infinitas soluciones.