Estudio de sistemas no homogéneos. Teorema de Rouché 01

Determina los valores de t para que el siguiente sistema tenga solución:

Solución:

Antes de estudiar este sistema debemos recordar que siendo (A) la matriz de los coeficientes y (A/B) la matriz ampliada:

a)   Si rg (A) = rg (A/B) = número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

b)   Si rg (A) < rg (A/B) o también rg(A) ≠ rg (A/B), el sistema es incompatible.

c)   Si rg (A) = rg (A/B) < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Grados de  libertad (nº de incógnitas secundarias) = nº de incógnitas – rg (A).

Si nº incógnitas – rg (A) = 1 el sistema es simplemente indeterminado.

Si nº incógnitas – rg (A) = 2 el sistema es doblemente indeterminado.

Si nº incógnitas – rg (A) = 3 el sistema es triplemente indeterminado.

Para resolver el caso c) se deben tomar el mismo número de ecuaciones e incógnitas que el rango o característica de (A) o de (A/B).

Matriz de los coeficientes:

Matriz ampliada:

Estudiemos para qué valores del parámetro t,  se obtiene el mayor rango de la matriz de los coeficientes.

Si: t = 0 o t = ±1, rg (A) = 1, de momento.

Luego si: t = 0 o t =1, rg (A) = 1.

Si: t ≠ 0 y t ≠ 1, rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible indeterminado (el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a 3, porque no hay suficientes filas).

Si t = 0:

Por tanto: rg (A) < rg (A/B), el sistema es incompatible.

Si t = 1:

Luego rg (A) = rg (A/B) < número de incógnitas y el sistema es compatible indeterminado.