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Estudio de sistemas no homogéneos. Teorema de Rouché 01
Posted on agosto 20th, 2012 No commentsDetermina los valores de t para que el siguiente sistema tenga solución:
Solución:
Antes de estudiar este sistema debemos recordar que siendo (A) la matriz de los coeficientes y (A/B) la matriz ampliada:
a) Si rg (A) = rg (A/B) = número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.
b) Si rg (A) < rg (A/B) o también rg(A) ≠ rg (A/B), el sistema es incompatible.
c) Si rg (A) = rg (A/B) < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Grados de libertad (nº de incógnitas secundarias) = nº de incógnitas – rg (A).
Si nº incógnitas – rg (A) = 1 el sistema es simplemente indeterminado.
Si nº incógnitas – rg (A) = 2 el sistema es doblemente indeterminado.
Si nº incógnitas – rg (A) = 3 el sistema es triplemente indeterminado.
Para resolver el caso c) se deben tomar el mismo número de ecuaciones e incógnitas que el rango o característica de (A) o de (A/B).
Matriz de los coeficientes:
Matriz ampliada:
Estudiemos para qué valores del parámetro t, se obtiene el mayor rango de la matriz de los coeficientes.
Si: t = 0 o t = ±1, rg (A) = 1, de momento.
Luego si: t = 0 o t =1, rg (A) = 1.
Si: t ≠ 0 y t ≠ 1, rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible indeterminado (el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a 3, porque no hay suficientes filas).
Si t = 0:
Por tanto: rg (A) < rg (A/B), el sistema es incompatible.
Si t = 1:
Luego rg (A) = rg (A/B) < número de incógnitas y el sistema es compatible indeterminado.
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