Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio de sistemas no homogéneos. Teorema de Rouché 01

    Posted on agosto 20th, 2012 Miralles No comments

     

    Determina los valores de t para que el siguiente sistema tenga solución:

     

     

     

     

     

    Solución:

    Antes de estudiar este sistema debemos recordar que siendo (A) la matriz de los coeficientes y (A/B) la matriz ampliada:

    a)   Si rg (A) = rg (A/B) = número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

    b)   Si rg (A) < rg (A/B) o también rg(A) ≠ rg (A/B), el sistema es incompatible.

    c)   Si rg (A) = rg (A/B) < número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

    Grados de  libertad (nº de incógnitas secundarias) = nº de incógnitas – rg (A).

    Si nº incógnitas – rg (A) = 1 el sistema es simplemente indeterminado.

    Si nº incógnitas – rg (A) = 2 el sistema es doblemente indeterminado.

    Si nº incógnitas – rg (A) = 3 el sistema es triplemente indeterminado.

    Para resolver el caso c) se deben tomar el mismo número de ecuaciones e incógnitas que el rango o característica de (A) o de (A/B).

    Matriz de los coeficientes:

     

     

    Matriz ampliada:

     

     

     

    Estudiemos para qué valores del parámetro t,  se obtiene el mayor rango de la matriz de los coeficientes.

     

     

     

    Si: t = 0 o t = ±1, rg (A) = 1, de momento.

     

     

     

    Luego si: t = 0 o t =1, rg (A) = 1.

    Si: t ≠ 0 y t ≠ 1, rg (A) = rg (A/B) = 2 < número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible indeterminado (el rango de la matriz ampliada no puede ser igual a 3, porque no hay suficientes filas).

    Si t = 0:

     

     

     

    Por tanto: rg (A) < rg (A/B), el sistema es incompatible.

    Si t = 1:

     

     

     

     

    Luego rg (A) = rg (A/B) < número de incógnitas y el sistema es compatible indeterminado.

     

     

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